Probando un conjunto es incontable

Question

Estoy teniendo un poco de problemas pensando en cómo demostrar este problema de tarea.

Demostrar que un conjunto de $A$ es incontable si existe una función inyectiva $f:(0, 1)\rightarrow A$. Sé que $(0, 1)$ es incontable, pero no puedo pensar en una prueba que demuestre que $A$ debe ser así. ¿Podría hacerlo a través de la contradicción y decir que no existe ninguna función inyectiva?

¡Gracias!

Answer 1

Si $A$ eran contable, entonces $f((0,1))$, que es un subconjunto de $A$, también sería también contable.

Puesto que es inyectiva $f:(0,1) \to A$ $f:(0,1) \to f((0,1))$ es una función biyectiva, $(0,1)$ también sería contable.

Pero $(0,1)$ es en realidad incontable, así $A$ también es incontable.

Answer 2

Lema. Si $A$ $B$ son conjuntos no vacíos, y hay un uno-a-uno la función $f\colon A\to B$, entonces no es un surjective función de $g\colon B\to A$.

Prueba. Deje $a_0\in A$ (posible, ya que los $A$ es no vacío). Definir $g\colon B\to A$ como sigue: $$g(b) = \left\{\begin{array}{ll} a_0 &\text{if }b\notin f(A);\\ a &\text{if }b\in f(A)\text{ and }f(a)=b. \end{array}\right.$$ Tenga en cuenta que $g$ está bien definido, ya que $f$ es uno-a-uno, por lo que hay un $a\in A$$f(a)=b$. Y $g$ a, porque dar $a\in A$, $g(f(a))=a$. $\Box$

Ahora, estamos suponiendo que existe una incrustación $(0,1)\hookrightarrow A$. Por lo tanto, no es un surjection $g\colon A\to (0,1)$. Si $f\colon\mathbb{N}\to A$, $g\circ f\colon \mathbb{N}\to (0,1)$ es una función que no está en. A la conclusión de que $f$ no es sobre. A la conclusión de que $A$ no es contable.

Alternativamente, por la contradicción: supongamos $f\colon\mathbb{N}\to A$ es sobre. Deje $S\subseteq \mathbb{N}$ ser el conjunto de todos los números naturales tal que $f(n)\in (0,1)$ (estamos vieweing $(0,1)$ como un subconjunto de a $A$ a través de la inclusión). A continuación, $f$ sería una en función de una contables de ajuste (cada subconjunto de $\mathbb{N}$ es contable) a $(0,1)$, lo que contradice el hecho de que $(0,1)$ no es contable.

Answer 3

Supongo que usted tiene los siguientes hechos a su disposición:

1. $A$ es contable si hay una inyección de $A$ a $\mathbb N$; o un surjection de $\mathbb N$ a $A$. Si $A$ no es contable, entonces decimos que el $A$ es incontable.
2. Decimos que $|A|\le|B|$ si y sólo si existe $f\colon A\to B$ que es inyectiva.
3. $|(0,1)|=|\mathcal P(\mathbb N)|$.
4. Para cada conjunto $A$ tenemos $|A|&lt|\mathcal P(A)|$.
5. Si $|A|\le |B|$$|B|\le|C|$$|A|\le|C|$.

El uso de estos hechos podemos deducir que $|\mathbb N|&lt|(0,1)|\le|A|$. Se puede ver cómo?

Answer 4

Por qué sólo esta: considerar el conjunto de $B=\{f(x)∣x∈(0,1)\}$. Muy fácilmente usted puede demostrar que existe una biyección entre $(0,1)$y $B$ y que $B$ son un subconjunto de $A$. Desde $B$ es incontable y $B\subseteq A$, $A$ es incontable.