Continua como el límite de la discreta

Question

La lectura de este documment: www.math.ucla.edu/~tao/memorias/compacidad.pdf, me interesé en lo siguiente: "también se puede utilizar compactifications para ver el continuo como el límite de la discreta; por ejemplo, es posible compactify la secuencia Z/2Z, Z/3Z, Z/4Z, etc. cíclico de los grupos, de modo que su límite es el círculo del grupo T = R/Z.". Me podría dar un punto de inicio para entender qué idea de compactification se utiliza allí? Donde puedo encontrar un esbozo de la prueba de ese hecho?

Answer 1

Vamos a utilizar la abreviatura $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y le dan un % métrico $d(u,v)=n^{-1}\min\{|u-v-kn|\colon k\in\mathbb{Z}\}$. Cada $n$ y $k$, multiplicación por $k$ incrusta $\mathbb{Z}_n$ isométrica en $\mathbb{Z}_{kn}$. El límite inductivo resultante es un espacio métrico cuya terminación es el círculo $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Sospecho que esto es lo que Tao tenía en mente, pero por supuesto puedo equivocarme.

Answer 2

Me gustaría aclarar algo que ocurrió en los comentarios. Hay dos maneras naturales para el ajuste cíclico finito grupos juntos en un diagrama. Es tomar la morfismos $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, m | n$ dado por el envío de $1$$1$. Esto le da un diagrama (inverso del sistema), cuyo límite (límite inversa) es el profinite de finalización de la $\hat{\mathbb{Z}}$ $\mathbb{Z}$ . Este diagrama también tiene sentido en la categoría de unital anillos, ya que también se respete la estructura de anillo, dando la profinite enteros de la estructura de un anillo conmutativo.

Este es no es el diagrama relevantes para la comprensión del círculo de grupo. En su lugar, uno debe tomar la morfismos $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, n | m$ dado por el envío de $1$$\frac{m}{n}$. Este es el diagrama relevante para la comprensión de la cíclico grupos subgrupos de sus colimit directo (límite), que es, como he dicho, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Y este grupo, a su vez, compactifies para el círculo de grupo en cualquier forma que usted prefiere.

(Estos dos diagramas que son de "doble", aunque, algo que aprendí hace poco, cuando se me pidió que demostrar en un examen que $\text{Hom}(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \hat{\mathbb{Z}}$. Observar que $\text{Hom}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y que contravariante Hom functors enviar colimits a límites!)

Edit: permítanme también decir algo sobre el significado preciso de "compactification" aquí. Un compactification de un espacio de $T$ es una incrustación $T \to X$ en un compacto Hausdorff espacio de $X$ con imagen densa. La incrustación se considera aquí el más evidente es el de$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, y el hecho de que se ha densa imagen es esencialmente lo que la palabra "terminación" significa también. Compactifications no son únicas, pero es posible que hay un sentido en el que un grupo topológico $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es el "más natural" compactification de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Pero yo no sé mucho acerca de grupos topológicos.

Answer 3

No he mirado el enlace, pero parece probable que el autor de dicho enlace está discutiendo la convergencia en la topología de Hausdorff. En este contexto, la idea de tomar límites es debido a Gromov, creo. (Hay una wikipedia entery en Gromov--Hausdorff convergencia que parece ser la más relevante.) Es una técnica común en algunas partes de la topología geométrica geométrica y teoría de grupos.

Si usted otra pregunta en Gromov--Hausdorff convergencia, estoy seguro de que podría atraer la atención de los (al menos) en el que varios expertos en el tema que yo sé leer MO.