Probabilidad de que de 600 cangrejos 60 sigan vivos después de 9 meses.

Question

La esperanza de vida de un cangrejo se puede modelar de forma exponencial, y un cangrejo vive 3 meses de media.

No estoy absolutamente seguro de esto, porque no hay nada concerniente a esto en nuestro libro, así que supongo que debía ser resuelto de alguna manera obvia/fácil, esto es lo que intenté:

Si se tratara de un solo cangrejo, podría simplemente enchufar el 9 en $\lambda e^{-\lambda x}$ , donde $\lambda=1/3$ .

$60$ es $10\%$ de $600$ , así que tal vez tengo que mirar después de lo que el tiempo 90% murió, intuitivamente recurriría a

$$1-e^{-x/3}=0.9$$ $$0.1=e^{-x/3}$$ y así sucesivamente, lo que me daría $\approx 6.9$ meses, y luego hacer algo sobre el resto $2.1$ meses.

Lo último que se me ocurre es calcular la probabilidad de que 540 cangrejos mueran en algún momento antes de los 9 meses, y luego tomar la probabilidad inversa, pero eso sólo lo sabría hacer con la ayuda de un ordenador.

Answer 1

Se trata de un proceso de dos pasos. En primer lugar, dada la información sobre la esperanza de vida de un cangrejo, calcula la probabilidad de que un cangrejo esté vivo después de 9 meses. Dejemos que ese valor sea $p$ .

Así que ahora toma la población de 600 cangrejos. Cada uno de ellos tiene una probabilidad independiente (supongo) de estar vivo después de 9 meses de $p$ . Eso significa que tienes un grupo de eventos idénticos - para cada uno de los 600 cangrejos, está vivo o muerto, y la probabilidad para cada cangrejo es el mismo valor $p$ . Y queremos saber algo sobre la distribución de cuántos cangrejos están vivos. ¿Qué te parece eso?

Answer 2

La probabilidad de que un solo cangrejo con vida $L$ está vivo después de 9 meses es $P[L > 9] = \int_{9}^{\infty}\frac{1}{3}\mathrm{e}^{-x/3} dx = \mathrm{e}^{-3}$ .

El indicador del evento que $L > 9$ es Bernoulli con probabilidad $\mathrm{e}^{-3}$ .

El número de cangrejos, $N$ , vivo después de 9 meses será una suma de estos Bernoullis, es decir $N$ es binomial (Véase aquí la subsección de la distribución Bernoulli: https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Related_distributions ) con los parámetros 600 y $\mathrm{e}^{-3}$ . Así que: $P[N = 60] = {{600}\choose{60}} \mathrm{e}^{-(3)(60)}(1 - \mathrm{e}^{-3})^{540}$ .

Answer 3

Para cada cangrejo, considere la FCD para el momento de la muerte: $$ F(t)=\Pr(\text{dying at or before time }t)=1-\exp(-\lambda t),\quad \lambda=\frac{1}{3}. $$ Supongamos que los 600 cangrejos son idénticos y no se afectan entre sí. Sea $X_i=1$ si el cangrejo $i$ está vivo después de 9 meses y $0$ de lo contrario. Entonces, $\Pr(X_i=1)=p\equiv 1-F(9)$ y $\Pr(X_i=0)=1-p$ . Entonces, $$ L\equiv\#\text{ crabs alive after 9 months}=\sum_{i=1}^{600}X_i $$ tiene una distribución binomial $B(n,p)$ donde $n=600$ . Se puede utilizar la fórmula habitual para calcular $\Pr(L=60)$ o $\Pr(L\geq 60)$ . Tu pregunta no aclara cuál buscas. Si buscas la segunda, es posible una aproximación mediante un teorema central del límite: $$ \frac{L}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}X_i\approx N[p,p(1-p)]. $$ A continuación, puede aproximar \begin {align*} \Pr (L \geq 60)&= \Pr\left ( \frac { \frac {L}{ \sqrt {n}}-p}{ \sqrt {p(1-p)}} \geq\frac { \frac {60}{ \sqrt {n}}-p}{ \sqrt {p(1-p)}} \right ) \\ & \approx 1- \Phi\left ( \frac { \frac {60}{ \sqrt {n}}-p}{ \sqrt {p(1-p)}} \right ) \end {align*} donde $\Phi(\cdot)$ denota la FCD de $N(0,1)$ .