Pregunta de examen sobre sistemas estacionarios

Question

Se trata de una vieja pregunta de examen que no tengo una respuesta a. Les dejo mi solución con esperanza de que si tengo errores, alguien que dirigirlas hacia fuera y para las futuras generaciones de estudiantes que toman este curso.

Que $\{A_\alpha \mid \alpha < \aleph_1\}$, conjunto desunido de sistemas no estacionarios, que $\bigcup_{\alpha < \aleph_1}A_\alpha$ es estacionaria. Demostrar que $\{\min A_\alpha \mid \alpha < \aleph_1\}$ es estacionaria.

Answer 1

Vamos $A := \bigcup_{\alpha < \aleph_1}A_\alpha$, $M := \{\min A_\alpha \mid \alpha < \aleph_1\}$.

Suponga que $M$ no es estacionaria, por lo que existe un conjunto de club, $C \subset \omega_1 \setminus M$. Deje $B := A\cap C$. B es estacionaria.

Debido a que los conjuntos son disjuntos, para cada $\beta \in B$, no hay una sola $\alpha_\beta$ tal que $\beta \in A_{\alpha_\beta}$. Por la construcción de $B$, $\beta \neq \min A_{\alpha_\beta}$.

$h := \beta \mapsto\min A_{\alpha_\beta}$ es regresivo, y por Fodor, lema, observamos que hay algunos estacionaria $B_0 \subset B$ $\gamma$ tal que para cada $\beta \in B_0$, $h(\beta) = \gamma$.

$A_\alpha$ son distintos, por lo tanto, no es $\alpha_0$ tal que para cada $\beta \in B_0$, $\beta \in A_{\alpha_0}$ y de ello se sigue que $A_{\alpha_0}$ es estacionaria, la cual es una contradicción.