Demostrar que $x+y+z=3$ $\implies$ $x^xy^yz^z\ge1$

Question

Si $x,y,z$ son positivo números verdaderos tales que $x+y+z=3$, demostrar que $$x^xy^yz^z\ \ge\ 1$ $ mi intento
Esto es equivalente a $$x\ln x + y\ln y + z\ln z\ \ge\ 0$ $ de AM-GM

$\dfrac{x\ln x + y\ln y + z\ln z}3 \ge \sqrt[3]{xyz(\ln x)(\ln y)(\ln z)}$

No sé qué hacer.

Answer 1

Sugerencia :

$x \longmapsto x\ln(x)$ es convexo. Use la desigualdad de la convexidad aka Jensen desigualdad para probar su resultado.

Answer 2

No se puede utilizar AM-GM: algunos de los términos en el lado izquierdo pueden ser negativos. Probar la desigualdad de Jensen en su lugar.

Answer 3

$1+\ln x$ es inyectiva en $x \in (0,\infty)$ por lo que deduce por multiplicadores de Lagrange, que debe producir el mínimo de $x^xy^yz^z$ a $x+y+z=3$ cuando $x=y=z$:

De multiplicadores de Lagrange debemos resolver el sistema,

$$x^x(1+\ln x)y^yz^z=\lambda$$

$$y^y(1+\ln y)x^xz^z=\lambda$$

$$z^z(1+\ln z)x^xy^y=\lambda$$

Esto significa que debemos tener $1+\ln x=1+\ln y=1+\ln z$.

Con la técnica del hessian confinado puede mostrar que $x=y=z=1$ dar en efecto un mínimo de $x^xy^yz^z=1$.

Answer 4

Que $f(x)=x\ln{x}$.

Por lo tanto, $f''(x)=\frac{1}{x}>0$, que dice que $f$ es una función convexa.

Así, Jensen $$\frac{\sum\limits_{cyc}x\ln{x}}{3}\geq\frac{x+y+z}{3}\ln\frac{x+y+z}{3}=0$ $ y hemos terminados!