raíces del polinomio mínimo y característico

Question

¿Por qué es, que para la matriz

$A \in \text{Mat}(n\times n, \mathbb{C})$

el polinomio característico $\chi_A(t)$ y el polinomio mínimo $\mu_A(t)$ ¿tienen las mismas raíces?

Desde $\chi_A(t) = \mu_A(t) \cdot p(t)$ debe ser fácil de seguir, que $\chi_A(t)$ tiene raíces donde $\mu_A(t)$ tiene raíces.

Pero, ¿por qué no puede $\chi_A(t)$ tienen raíces donde $\mu_A(t)$ ¿no?

Answer 1

En primer lugar, demuestre la siguiente afirmación fácil: Sea $f(x)\in\mathbb{C}[x]$ sea un polinomio cualquiera. Si $\lambda$ es un valor propio de $A$ asociado con el vector propio $v$ entonces $f(\lambda)$ es un valor propio de $f(A)$ asociado con el vector propio $v$ . (demostrar calculando $f(A)v$ utilizando la distributividad de la multiplicación sobre la suma).
Ahora dejemos que $\lambda$ sea una raíz de $\chi_A(t)$ . Así, $\lambda$ es un valor propio y por tanto tiene un vector propio asociado $v\neq 0$ . Utilizando la afirmación, obtenemos $0=\mu_A(A)\cdot v=\mu_A(\lambda)\cdot v$ (ya que $\mu_A(A)=0$ ). Dado que $v\neq 0$ obtenemos $\mu_A(\lambda)=0$ .

Answer 2

Me acuerdo de algo así: si $\mu_A(t)=\prod_{\lambda \in Sp(A)}(t-\lambda)$ entonces $\chi_A(t)=\prod_{\lambda \in Sp(A)}(t-\lambda)^{\nu_\lambda}$ . Los dos polinomios tienen las mismas raíces, los valores propios de $A$ y el orden de multiplicidad de $\lambda$ es $1$ en el polinomio mínimo y $\nu_\lambda$ en el polinomio característico.

Así lo demuestra la respuesta de Dennis Gulko.

Además, el orden de multiplicidad $\nu_\lambda$ es la dimensión del eigespacio $\nu_\lambda = \dim E_\lambda=\dim \ker (\lambda I - A)=\dim \{x|Ax=\lambda x\}$ .

Esto se demuestra al observar la restricción de $A$ a $E_\lambda$ donde actúa como la homotecia $x \rightarrow \lambda x$ y su matriz es la matriz diagonal cuadrada $\left( \matrix{\lambda&0&...&0 \\ 0&\lambda&...&0 \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&...&\lambda} \right)$ .