Cómo determinar que una superficie es simétrica

Question

Dada una superficie $f(x,y,z)=0$ ¿Cómo podrías determinar que es simétrica con respecto a algún plano y, si es así, cómo encontrarías este plano?

El caso especial en el que $f$ es un polinomio tiene cierto interés.

La pregunta está algo relacionada con ésta: Cómo identificar las superficies de revolución

He aquí un sencillo ejemplo en 2D para experimentar: $$ 27 x^3 + 108 x^2 y + 144 x y^2 + 64 y^3 - 80 x^2 + 120 x y - 45 y^2 - 200 x + 150 y - 125 = 0$$ Este es simétrica, como sugiere la siguiente imagen:

De hecho, si hacemos la traslación/rotación descrita por la sustitución $u = \tfrac15(3x+4y)$ , $v = \tfrac15(4x3y) + 1$ , entonces la curva es simplemente $u^3 - v^2 = 0$ que obviamente es simétrica respecto a la línea $v=0$ .

Pero, ¿cómo descubrirías esta traslación/rotación si no te lo dijera, y cómo harías cosas similares en el caso de la superficie 3D?

Añadido tras unos días de reflexión:

Podemos considerar la superficie como un objeto de chapa fina. Como tal, tiene un centro de masa, siempre que esté acotado, y cualquier plano(s) de simetría debe pasar por este centro de masa. El plano tiene entonces sólo dos grados de libertad restantes, por lo que puede ser más fácil de encontrar.

El mismo tipo de razonamiento se aplica en el caso de una curva 2D acotada. De nuevo, cualquier línea de simetría debe pasar por el centroide de la curva, por lo que sólo le queda un grado de libertad, su pendiente/ángulo.

Para las curvas y superficies dadas por ecuaciones implícitas, no sé realmente cómo calcular los centroides, pero espero que se pueda hacer.

Fabricado a partir de los comentarios de abajo:

Varias personas sugirieron que se consideraran sólo los términos de mayor grado. Así que, en mi ejemplo, sólo miramos la ecuación $$ 27 x^3 + 108 x^2 y + 144 x y^2 + 64 y^3 = 0 $$ Poner $w = y/x$ Esto equivale aproximadamente a $$ 64w^3 + 144w^2 + 108 w + 27 = 0 $$ Pero el polinomio de la izquierda es sólo $(4w + 3)^3$ , por lo que tenemos una raíz $w = -3/4$ con multiplicidad tres. ¿La raíz repetida es un accidente que se da sólo en este caso, o se da siempre? De todos modos, el vector $(-4,3)$ nos da la normal a la línea de simetría, y eso seguramente no puede ser un accidente.

No entiendo muy bien por qué funciona este proceso mágico, pero parece muy prometedor para el caso de la curva 2D.

No sé cómo generalizar al caso de la superficie 3D, o a los casos no polinómicos.

Answer 1

He aquí una respuesta a esta pregunta en el caso de las superficies compactas (sin límites); tal vez estas ideas puedan utilizarse también en el caso general. Sea $F$ sea una superficie compacta en $R^3$ que delimita un sólido $S$ . En el entorno que le interesa, probablemente se tendrá $F=\{x: f(x)=c\}$ y $S=\{x: f(x)\le c\}$ . También asumiré que $f$ es un polinomio (no creo que sea realmente necesario, pero utilizo esta suposición para detectar superficies de revolución).

El sólido $S$ entonces tiene un Elipsoide de Loewner-Jones que es el único elipsoide $E$ del menor volumen que contenga $F$ (de hecho, todos los compactos en $R^n$ con no contenido en un hiperplano tiene tal elipsoide). Este elipsoide también se conoce como Elipsoide de Jones y elipsoide de menor volumen . Fue descubierto por Loewner y luego redescubierto por Jones, si no recuerdo mal. La gente también utiliza el elipsoide de mayor volumen contenido en $S$ Ese también funcionará.

La clave es que, en vista de la singularidad de $E$ , cada simetría de $F$ es también una simetría de $E$ . Existe una amplia literatura en la comunidad de matemática computacional que describe varios algoritmos para encontrar $E$ , aquí es un artículo al azar sobre este tema que encontré buscando en Google. Ahora, supongamos que tienes suerte y que tu elipsoide tiene ejes principales bien definidos (más allá del margen de error del algoritmo que utilices). Entonces $E$ tiene exactamente 3 planos de simetría que pasan por su centro $C$ y pares de ejes. Luego se comprueba si las simetrías en estos planos preservan $S$ .

Ahora, supongamos que tienes mala suerte y $E$ tiene una simetría rotacional en su eje $A$ (pero no es la esfera). Al intersecar $S$ con el avión $P$ ortogonal a $A$ obtenemos ahora un problema bidimensional: dada una curva (cerrada y acotada) $\Gamma$ en el plano y un centro $C$ determinar si $\Gamma$ tiene una simetría de reflexión en una línea $L$ (a través de $C$ ). Esto es relativamente fácil ya que cada punto de intersección de $\Gamma$ con $L$ es un punto crítico de la función de distancia de $C$ por lo que se pueden encontrar dichos puntos utilizando los multiplicadores de Lagrange y luego comprobar si alguna de las simetrías correspondientes preserva $F$ . Este método fallará si $\Gamma$ es un círculo. En lugar de intersecarse $F$ con planos que pasan a través de $C$ podemos utilizar otros planos $P_k$ ortogonal a $L$ . Ahora bien, si son demasiados (comparando con el grado de $f$ ) de estas intersecciones con $F$ son círculos, entonces $F$ es una superficie de revolución con el eje $A$ . (Creo que debería seguirse del teorema de Bezout, pero hay que comprobarlo). En este caso, por supuesto, cualquier plano que pase por $A$ funcionará.

El caso restante cuando $E$ es una esfera es similar al caso circular en una dimensión inferior, se estaría entonces buscando puntos críticos de la función de distancia desde el origen.

Observación: El argumento con el elipsoide de Lowener-Jones también debería manejar tu segunda pregunta, sobre las superficies de revolución, en el caso acotado.

Answer 2

Aquí tienes una puñalada. Puedes traducir tu pregunta en si un sistema de ciertas ecuaciones polinómicas tiene o no una solución real.

Una rotación genérica puede describirse eligiendo un eje mediante dos ángulos en coordenadas esféricas y, a continuación, eligiendo un tercer ángulo por el que girar. La matriz de dicha rotación tiene entradas que son polinomios cuárticos en seis variables que representan los senos y cosenos de los tres ángulos.

Si su superficie tiene un plano de simetría, entonces para la elección correcta de estos tres ángulos, seguida de una traslación en el $z$ -dirección del eje, debería quedar un polinomio que tenga sólo potencias pares de $z$ .

Si se da nombre a las siete incógnitas (seis valores trigonométricos y uno de traslación), y se aplica el giro y la traslación genéricos a la ecuación definitoria de la superficie, entonces podemos aislar los coeficientes de $z,xz,yz,x^2z,z^3,z^5,$ etc. y ver si podemos resolverlos todos simultáneamente siendo $0$ . Ya tenemos tres relaciones cuadráticas en las seis variables trigonométricas. Si obtenemos ecuaciones en las siete incógnitas correspondientes a $z,xz,yz,x^2z,z^3,z^5$ etc (sólo habrá un número finito) entonces tenemos un sistema de ecuaciones polinómicas en siete incógnitas.

Este sistema es consistente/inconsistente en $\mathbb{C}$ según se cumplan determinadas condiciones algebraicas en las ecuaciones por El nullstellensatz de Hilbert . I piense en un CAS podría determinar el criterio de nullstellensatz, pero yo consultaría a un experto. No estoy seguro de lo que se puede hacer con $\mathbb{R}$ .

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En 2D con su ejemplo, sería así, usando $c=\cos\theta$ , $s=\sin\theta$ y $a$ para la variable de traducción en el $y$ -dirección:

$$27 x^3 + 108 x^2 y + 144 x y^2 + 64 y^3 - 80 x^2 + 120 x y - 45 y^2 - 200 x + 150 y - 125 = 0$$

Aplica la rotación, seguida de la traslación:

$$27(xc+(y+a)s)^3 +108 (xc+(y+a)s)^2(xs-(y+a)c) +144(xc+(y+a)s)(xs-(y+a)c)^2 +64(xs-(y+a)c)^3 -80(xc+(y+a)s)^2 +120(xc+(y+a)s)(xs-(y+a)c) -45(xs-(y+a)c)^2 -200(xc+(y+a)s) +150(xs-(y+a)c)-125 = 0$$

Hago trampa y tengo un CAS expandido:

$$27 a^3 s^3+81 a^2 c s^2 x+81 a^2 s^3 y+81 a c^2 s x^2+162 a c s^2 x y+81 a s^3 y^2+27 c^3 x^3+81 c^2 s x^2 y+81 c s^2 x y^2+27 s^3 y^3 -108 a^3 c s^2-216 a^2 c^2 s x-324 a^2 c s^2 y+108 a^2 s^3 x-108 a c^3 x^2-432 a c^2 s x y+216 a c s^2 x^2-324 a c s^2 y^2+216 a s^3 x y-108 c^3 x^2 y+108 c^2 s x^3-216 c^2 s x y^2+216 c s^2 x^2 y-108 c s^2 y^3+108 s^3 x y^2 +144 a^3 c^2 s+144 a^2 c^3 x+432 a^2 c^2 s y-288 a^2 c s^2 x+288 a c^3 x y-288 a c^2 s x^2+432 a c^2 s y^2-576 a c s^2 x y+144 a s^3 x^2+144 c^3 x y^2-288 c^2 s x^2 y+144 c^2 s y^3+144 c s^2 x^3-288 c s^2 x y^2+144 s^3 x^2 y -64 a^3 c^3-192 a^2 c^3 y+192 a^2 c^2 s x-192 a c^3 y^2+384 a c^2 s x y-192 a c s^2 x^2-64 c^3 y^3+192 c^2 s x y^2-192 c s^2 x^2 y+64 s^3 x^3 -80 a^2 s^2-160 a c s x-160 a s^2 y-80 c^2 x^2-160 c s x y-80 s^2 y^2 -120 a^2 c s-120 a c^2 x-240 a c s y+120 a s^2 x-120 c^2 x y+120 c s x^2-120 c s y^2+120 s^2 x y -45 a^2 c^2-90 a c^2 y+90 a c s x-45 c^2 y^2+90 c s x y-45 s^2 x^2 -200 a s-200 c x-200 s y +150xs-150yc-150ac-125=0 $$

Ignorar los términos con potencias pares de $y$ :

$$81 a^2 s^3 y+162 a c s^2 x y+81 c^2 s x^2 y+27 s^3 y^3 -324 a^2 c s^2 y-432 a c^2 s x y+216 a s^3 x y-108 c^3 x^2 y+216 c s^2 x^2 y-108 c s^2 y^3 +432 a^2 c^2 s y+288 a c^3 x y-576 a c s^2 x y-288 c^2 s x^2 y+144 c^2 s y^3+144 s^3 x^2 y -192 a^2 c^3 y+384 a c^2 s x y-64 c^3 y^3-192 c s^2 x^2 y -160 a s^2 y-160 c s x y -240 a c s y-120 c^2 x y+120 s^2 x y -90 a c^2 y+90 c s x y -200 s y -150yc=0 $$

Empezando por la relación entre $c$ y $s$ y luego agrupar los coeficientes de $y$ , $xy$ , etc., igualando a $0$ :

$$\begin{align} c^2+s^2&=1\\ 81 a^2 s^3 -324 a^2 c s^2 +432 a^2 c^2 s-192 a^2 c^3-160 a s^2-240 a c s-90 a c^2-200 s -150c&=0&(y)\\ 162 a c s^2 -432 a c^2 s +216 a s^3 +288 a c^3-576 a c s^2+384 a c^2 s-160 c s-120 c^2+120 s^2+90 c s&=0&(xy)\\ 81 c^2 s -108 c^3 +216 c s^2-288 c^2 s+144 s^3-192 c s^2&=0&(x^2 y)\\ 27 s^3-108 c s^2+144 c^2 s-64 c^3&=0&( y^3) \end{align}$$

Y ahora la pregunta es equivalente a preguntar si este sistema de polinomios en tres variables tiene solución. De nuevo, yo piense en Esto es algo que puede hacer un CAS, pero yo consultaría primero a un experto.