Transformada de Fourier de $f(x)=\frac{1}{e^x+e^{-x}+2}$

Question

Dejemos que $$f(x)=\large \frac{1}{e^x+e^{-x}+2}$$ Calcule la transformada de Fourier de $f$ .

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Podemos factorizar el denominador para obtener $$f(x)=\frac1{(\exp(x/2)+\exp(-x/2))^2}=\frac1{(2\cosh(x/2))^2}$$ Estoy pensando en utilizar los residuos del análisis complejo. Para encontrar la singularidad, tenemos $$\exp(x/2)=-\exp(-x/2)\iff\exp(x)=-1$$ Sabemos que $\exp(i\pi)=-1$ . Así que las singularidades son $i\pi+2\pi k i $ .

Answer 1

Técnicas relacionadas: (I) , (II) . En primer lugar, recordamos la transformada de Mellin de una función $f$

$$ F(s) =\int_{0}^{\infty} x^{s-1}f(x) dx .$$

Ahora, haciendo el cambio de variables $u=e^{x}$ en la integral original da

$$I = \int _{-\infty }^{\infty }\!{\frac {{{\rm e}^{-iwx}}{{\rm e}^{x}}}{ \left( 1+{{\rm e}^{x}} \right) ^{2}}}{dx}= \int _{0}^{\infty }\!{\frac {{u}^{-iw}}{ \left( 1+u \right) ^{2}}}{du}. $$

Ahora, la última integral no es más que la transformada de Mellin de la función $\frac{1}{(1+u)^2}$ con $s=1-iw$ que viene dado por

$$ I = \frac{\pi w}{\sinh(\pi w)} $$

Nota: Para encontrar la transformada de Mellin de la función $\frac{1}{(1+u)^2}$ puede utilizar el $\beta$ función. Véase aquí para la técnica.