Máximo de la suma de fracciones con bronceado

Question

Sea$ABC$ un triángulo agudo. ¿Cuál es el valor máximo de$$\frac{\tan^2A+\tan^2B}{\tan^4A+\tan^4B}+\frac{\tan^2B+\tan^2C}{\tan^4B+\tan^4C}+\frac{\tan^2C+\tan^2A}{\tan^4C+\tan^4A}?$ $

Para el triángulo equilátero,$\tan A=\tan B=\tan C=\sqrt{3}$, y la suma es$1$. Para el triángulo isósceles con$\angle A=\angle B\rightarrow\pi/2$ y$\angle C\rightarrow 0$, la suma se aproxima a cero.

Answer 1

Diga$x= \tan A$,$y= \tan B$ y$z = \tan C$. Es bien sabido que $x+y+z=xyz$. Entonces tenemos $$ E = {x ^ 2 y ^ 2 \ sobre x ^ 4 y ^ 4} {y ^ 2 z ^ 2 \ sobre y ^ 4 z ^ 4} {z ^ 2 x ^ 2 \ over z ^ 4 x ^ 4} $$ Por desigualdad de Cauchy y luego por$AM-GM$ tenemos$${x^2+y^2\over x^4+y^4} \leq {2\over x^2+y^2}\leq {1\over xy}$ $ So$$ E \leq {1\over xy} +{1\over yz}+{1\over zx} = 1$ $ Conseguimos igualdad exactamente cuando$x=y=z$, por lo tanto$3x=x^3 \Longrightarrow x=\sqrt{3}$.