Probar por inducción matemática:$1(1!) + 2(2!) + \cdot \cdot \cdot +n(n!) = (n+1)!-1$

Question

Demostrar por Inducción Matemática . . .

$1(1!) + 2(2!) + \cdot \cdot \cdot +n(n!) = (n+1)!-1$

He intentado solucionarlo, pero me quedé atrapado cerca de la final . . .

una. Base A Paso:

$(1)(1!) = (1+1)!-1$

$1 = (2\cdot1)-1$

$1 = 1 \checkmark$

b. Hipótesis Inductiva

$1(1!) + 2(2!) + \cdot \cdot \cdot +k(k!) = (k+1)!-1$

Probar que k+1) es verdadera.

$1(1!) + 2(2!) + \cdot \cdot \cdot +(k+1)(k+1)! = (k+2)!-1$

$\big[RHS\big]$

$(k+2)!-1 = (k+2)(k+1)k!-1$

$\big[LHS\big]$

$=\underbrace{1(1!) + 2(2!) + \cdot \cdot \cdot + k(k+1)!} + (k+1)(k+1)!$ (Explícita Último Paso)

$= \underbrace{(k+1)!-1}+(k+1)(k+1)!$ (Inductivo Hipótesis De Sustitución)

$= (k+1)!-1 + (k+1)(k+1)k!$

$= (k+1)k!-1 + (k+1)^{2}k!$

Mi [LHS] no se parece en nada a mi [HR] hice algo mal?

EDITAR:

$ = (k+1)k! + (k+1)^2k! -1 $

$ = (k+1)(k!)(1 + (k+1))-1$

$ = (k+1)(k!)(k+2)-1 = (k+2)(k+1)k!-1$

Answer 1

Su LHS puede no ser muy similar a su RHS todavía, pero eso es porque usted no ha terminado de obtener en la forma más simple posible. Tienes $(k+1)k! - 1 + (k+1)^2 k!$. Está buscando obtener algo menos$1$, por lo que es algo prometedor. Ahora, ¿qué factores tienen los otros dos términos (los que implican$k$) tienen en común?

Answer 2

Es un caso especial de la telescópico de inducción. Este post tiene un muy corto y simple inductivo prueba de

Teorema $\rm\displaystyle\,\ \sum_{i\,=\,1}^n f(i) = g(n)\iff g(1) = f(1)\ {\rm and}\ g(n\!+\!1)-g(n) = f(n\!+\!1)\ $ $\,n \ge 1.$

Aplica a tu caso, donde $\rm\,f(n) = n n!\:$ $\rm\:g(n) = (n+1)!-1,\,$ tenemos $\rm\: g(1)=1 = f(1),\:$ y

$$\begin{eqnarray}\rm g(n\!+\!1)-g(n) &=&\rm (n\!+\!2)!-1-((n\!+\!1)!-1) \\ &=&\rm (n\!+\!2)!\,-\,(n\!+\!1)! \\ &=&\rm (n\!+\!2 -1)(n\!+\!1)! \\ &=&\rm (n\!+\!1)(n\!+\!1)! \\ &=&\rm f(n\!+\!1) \end{eqnarray}$$

Que completa la prueba utilizando el teorema. Este método funciona muy ampliamente para inductivo pruebas que involucran sumas y productos. Usted puede encontrar muchos más ejemplos de telescopy y relacionados con los resultados en otras respuestas aquí.

Answer 3

unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 4

Hay un error en el [LHS], debería verse así:

$$ \ underbrace {1 (1!) \ ldots k (k!)} _ {= (k 1)! - 1} (k 1) (k 1)! = \ ldots $$