Dibujar una flecha

Question

Valores dados $L_1, L_2, x_1,y_1, x_2, y_2$ y $\theta$ , calcule $x_3, y_3, x_4, y_4$ .

Básicamente, dada una línea, encontrar los puntos de la punta de la flecha. He pedido ayuda a muchas personas sobre esto sin suerte.

He intentado hacer un triángulo rectángulo, y esto funcionaría si sólo la flecha estuviera orientada hacia arriba. Pero el ángulo de la flecha es desconocido, así que ese es mi problema.

Answer 1

Solución

\begin{align} x_3&=x_2+\frac{L_2}{L_1}\bigl[(x_1-x_2)\cos\theta+(y_1-y_2)\sin\theta\bigr],\\ y_3&=y_2+\frac{L_2}{L_1}\bigl[(y_1-y_2)\cos\theta-(x_1-x_2)\sin\theta\bigr],\\ x_4&=x_2+\frac{L_2}{L_1}\bigl[(x_1-x_2)\cos\theta-(y_1-y_2)\sin\theta\bigr],\\ y_4&=y_2+\frac{L_2}{L_1}\bigl[(y_1-y_2)\cos\theta+(x_1-x_2)\sin\theta\bigr]. \end{align}

Explicación

Llamemos a $P_i$ el punto de coordenadas $(x_i,y_i)$ entonces \begin{align} P_3&=P_2+L_2\mathbf{v}_3,\\ P_4&=P_2+L_2\mathbf{v}_4 \end{align} donde $$ \mathbf{v}_3=(\cos(\theta_0-\theta),\sin(\theta_0-\theta)),\\ \mathbf{v}_4=(\cos(\theta_0+\theta),\sin(\theta_0+\theta)) $$ y $\theta_0$ es tal que $$ \mathbf{v}=\frac{P_1-P_2}{L_1}=(\cos\theta_0,\sin\theta_0). $$ Entonces \begin{align} \cos\theta_0&=\frac{x_1-x_2}{L_1},\\ \sin\theta_0&=\frac{y_1-y_2}{L_1} \end{align} de modo que, utilizando las fórmulas de adición trigonométrica \begin{align} \mathbf{v}_3&=\left(\frac{x_1-x_2}{L_1}\cos\theta+\frac{y_1-y_2}{L_1}\sin\theta,\frac{y_1-y_2}{L_1}\cos\theta-\frac{x_1-x_2}{L_1}\sin\theta\right),\\ \mathbf{v}_3&=\left(\frac{x_1-x_2}{L_1}\cos\theta-\frac{y_1-y_2}{L_1}\sin\theta,\frac{y_1-y_2}{L_1}\cos\theta+\frac{x_1-x_2}{L_1}\sin\theta\right) \end{align} y finalmente \begin{align} x_3&=x_2+L_2\left(\frac{x_1-x_2}{L_1}\cos\theta+\frac{y_1-y_2}{L_1}\sin\theta\right),\\ y_3&=y_2+L_2\left(\frac{y_1-y_2}{L_1}\cos\theta-\frac{x_1-x_2}{L_1}\sin\theta\right),\\ x_4&=x_2+L_2\left(\frac{x_1-x_2}{L_1}\cos\theta-\frac{y_1-y_2}{L_1}\sin\theta\right),\\ y_4&=y_2+L_2\left(\frac{y_1-y_2}{L_1}\cos\theta+\frac{x_1-x_2}{L_1}\sin\theta\right), \end{align} o mejor escrito \begin{align} x_3&=x_2+\frac{L_2}{L_1}\bigl[(x_1-x_2)\cos\theta+(y_1-y_2)\sin\theta\bigr],\\ y_3&=y_2+\frac{L_2}{L_1}\bigl[(y_1-y_2)\cos\theta-(x_1-x_2)\sin\theta\bigr],\\ x_4&=x_2+\frac{L_2}{L_1}\bigl[(x_1-x_2)\cos\theta-(y_1-y_2)\sin\theta\bigr],\\ y_4&=y_2+\frac{L_2}{L_1}\bigl[(y_1-y_2)\cos\theta+(x_1-x_2)\sin\theta\bigr]. \end{align}

Answer 2

Pista: Dibuja una línea desde $(x_3,y_3) \to (x_1,y_1)$ y luego utilizar la trigonometría para encontrar el ángulo $x_2x_1x_3$ . A continuación, utilice más trigonometría para encontrar la ecuación de la línea que conecta $(x_3,y_3) \to (x_1,y_1)$ y también la ecuación de $(x_3,y_3) \to (x_2,y_2)$ y luego resolver el sistema de ecuaciones para encontrar $(x_3,y_3)$

El proceso es similar para $(x_4,y_4)$ .

Answer 3

Utilizando el producto escalar, observe que

$$(x_1-x_2)(x_3-x_2)+(y_1-y_2)(y_3-y_2) = L_1 L_2 \cos \theta$$

y

$$(x_1-x_2)(x_4-x_2)+(y_1-y_2)(y_4-y_2) = L_1 L_2 \cos \theta \; .$$

así como las ecuaciones relacionadas con la longitud

$$(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2 = L_2^2$$

y

$$(x_4-x_2)^2+(y_4-y_2)^2 = L_2^2$$

Por lo tanto, se pueden resolver estas ecuaciones en $(x_3,y_3)$ y $(x_4,y_4)$ . Nótese que realmente son el mismo par de ecuaciones (ec 1 y ec 3 con respecto a la ec 2 y ec 4) lo que significa que esas ecuaciones tienen 2 soluciones que están relacionadas con diferentes orientaciones posibles de sus ángulos $\theta$ . Se puede filtrar cuál es la solución mirando su ubicación con respecto a $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ .

Permítame ampliar un poco la respuesta. Así que mis ecuaciones son

$$(x_1-x_2)(x-x_2)+(y_1-y_2)(y-y_2) = L_1 L_2 \cos \theta$$

y

$$(x-x_2)^2+(y_3-y_2)^2 = L_2^2$$

Ahora, introduce $(x-x_2)=X$ y $(y-y_2)=aX$ . Las ecuaciones se convierten en

$$(x_1-x_2)X+(y_1-y_2)aX = L_1 L_2 \cos \theta$$

y

$$X^2+a^2X^2 = L_2^2$$

La primera ecuación da

$$X = \frac{L_1 L_2 \cos \theta}{(x_1-x_2)+(y_1-y_2)a}$$

que se puede sustituir por la segunda para obtener una ecuación de segundo grado en $a$ sólo.

$$(1+a^2)(L_1 L_2 \cos \theta)^2 = L_2^2 ((x_1-x_2)+(y_1-y_2)a)^2$$

Esto tendrá dos soluciones para $a$ .

Answer 4

Pista: dibujar un rayo horizontal desde $(x_1,y_1)$ definir $\phi$ como el ángulo del rayo con el segmento de longitud L1. Prolongamos el lado derecho de la punta de la flecha hacia abajo hasta que cruce la semirrecta. Entonces el tercer ángulo del triángulo (desde la semirrecta hasta la punta de flecha extendida) es $\phi'=\pi-\theta-\phi$ Este es también el ángulo que forma la punta de la flecha extendida con el $x$ eje. Entonces $x_4=x_2+L_2\cos (\pi-\theta-\phi), y_4=y_2+L_2\sin(\pi-\theta-\phi)$ Me voy $(x_3,y_3)$ a usted. Funciona igual.