Cómo calcular$\int_0^\infty e^{-a(s^2+1/s^2)}\, ds$

Question

¿Cómo puedo integrar

$$\int_0^\infty e^{-a(\frac{1}{s^2} + s^2)}\, ds \tag{*}$$

Contexto: En la página 602 de la ponencia "ecuaciones de Reacción-Difusión para la Interacción de los Sistemas de Partículas" a partir De Masi Ferrari y Lebowitz, se lee:

Así que el uso de $C$, $\Delta$ y $A$ para denotar las constantes que están en nuestro camino, podemos volver a escribir más claramente:

$$C \int_0^t \frac{1}{\sqrt s} e^{\frac{-\Delta}{s}} e^{-A s}\, ds$$

Consideremos ahora una serie de cambios de variables:

1) $s = \Delta y$ ( $ds = \Delta dy$) los rendimientos $$C(\Delta)^{1/2}\int_0^t \frac{1}{\sqrt y} e^{\frac{-1}{y}} e^{-A\Delta y}\, dy$$

2) $y = x^2$ $dy = 2x dx$ los rendimientos

$$2C(\Delta)^{1/2}\int_0^{\sqrt{t}} e^{\frac{-1}{x^2}} e^{-A\Delta x^2}\, dx$$

3) Finalmente, $x = \lambda z$ rendimientos

$$2C(\Delta)^{1/2}\lambda\int_0^{\frac{\sqrt{t}}{\lambda}} e^{\frac{-1}{\lambda^2x^2}} e^{-A\Delta\lambda^2 x^2}\, dx$$

Elija $\lambda$ tal que

$$\frac{1}{\lambda^2} = A\Delta\lambda^2$$

Es decir, elija $\lambda = \frac{1}{(A\Delta)^{1/4}}$

Así llegamos a la

$$2C(\Delta)^{1/2}\frac{1}{(A\Delta)^{1/4}}\int_0^{\frac{\sqrt{t}}{\lambda}} e^{\frac{-(A\Delta)^{1/2}}{x^2}} e^{-(A\Delta)^{1/2} x^2}\, dx$$

Por lo tanto, y para concluir este integral, necesario para calcular los $(*)$$a =(A\Delta)^{1/2}$.

pero estoy atascado.

Answer 1

Creo que esto se desvía del resultado de George Boole de que$x\mapsto x-1/x$ es medida-preservando. Es decir,$\int_{\mathbb R }f(x)\,dx = \int_{\mathbb R }f(x-1/x)\,dx.$ Aplica esto a$f(x)=\exp(-a x^2)$.

Answer 2

Por Glasser Maestro del Teorema para cualquier $a>0$ hemos $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{+\infty}\exp\left[-a\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)\right]\,ds&\stackrel{\text{parity}}{=}&\frac{e^{-2a}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left[-a\left(s-\frac{1}{s}\right)^2\right]\\&\stackrel{\text{GMT}}{=}&\frac{e^{-2a}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-as^2}\,ds=\color{blue}{\frac{\sqrt{\pi}}{2e^{2a}\sqrt{a}}}.\end{eqnarray*}$$ Como se menciona en la respuesta anterior, el pleno de la generalidad de $\text{GMT}$ no es realmente necesario, es suficiente para demostrar la declaración de Boole

Si $f(s)$ $g(s)=f\left(s-\frac{1}{s}\right)$ son integrables función por encima de la línea real,
tienen la misma integral.

De hecho, $$\int_{-\infty}^{0}f\left(s-\frac{1}{s}\right)\,ds\stackrel{s\mapsto\frac{t-\sqrt{4+t^2}}{2}}{=}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\left(\frac{1}{2}-\frac{t}{2\sqrt{4+t^2}}\right)\,dt$$ $$\int_{0}^{+\infty}f\left(s-\frac{1}{s}\right)\,ds\stackrel{s\mapsto\frac{t+\sqrt{4+t^2}}{2}}{=}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\left(\frac{1}{2}+\frac{t}{2\sqrt{4+t^2}}\right)\,dt$$ y la demanda sigue agregando la mano izquierda lados y los lados de la parte derecha de estas identidades.