¿Cómo puedo integrar
$$\int_0^\infty e^{-a(\frac{1}{s^2} + s^2)}\, ds \tag{*}$$
Contexto: En la página 602 de la ponencia "ecuaciones de Reacción-Difusión para la Interacción de los Sistemas de Partículas" a partir De Masi Ferrari y Lebowitz, se lee:
Así que el uso de $C$, $\Delta$ y $A$ para denotar las constantes que están en nuestro camino, podemos volver a escribir más claramente:
$$C \int_0^t \frac{1}{\sqrt s} e^{\frac{-\Delta}{s}} e^{-A s}\, ds $$
Consideremos ahora una serie de cambios de variables:
1) $ s = \Delta y$ ( $ds = \Delta dy$) los rendimientos $$ C(\Delta)^{1/2}\int_0^t \frac{1}{\sqrt y} e^{\frac{-1}{y}} e^{-A\Delta y}\, dy $$
2) $y = x^2$ $dy = 2x dx$ los rendimientos
$$2C(\Delta)^{1/2}\int_0^{\sqrt{t}} e^{\frac{-1}{x^2}} e^{-A\Delta x^2}\, dx $$
3) Finalmente, $x = \lambda z$ rendimientos
$$2C(\Delta)^{1/2}\lambda\int_0^{\frac{\sqrt{t}}{\lambda}} e^{\frac{-1}{\lambda^2x^2}} e^{-A\Delta\lambda^2 x^2}\, dx $$
Elija $\lambda$ tal que
$$\frac{1}{\lambda^2} = A\Delta\lambda^2$$
Es decir, elija $\lambda = \frac{1}{(A\Delta)^{1/4}}$
Así llegamos a la
$$2C(\Delta)^{1/2}\frac{1}{(A\Delta)^{1/4}}\int_0^{\frac{\sqrt{t}}{\lambda}} e^{\frac{-(A\Delta)^{1/2}}{x^2}} e^{-(A\Delta)^{1/2} x^2}\, dx $$
Por lo tanto, y para concluir este integral, necesario para calcular los $(*)$$a =(A\Delta)^{1/2}$.
pero estoy atascado.