Pruebalo $\vert\sin(x)\sin(2x)\sin(2^2x)\cdots\sin(2^nx)\vert < \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$

Question

Para$x$ en$\mathbb R^*$ y$n$ en$\mathbb N$, define

ps

Prueba que$$U_n = \sin(x)\sin(2x)\sin(2^2x)\cdots\sin(2^nx) = \prod_{k=0}^n\sin(2^k x)$ $

¿Puede alguien ayudar por favor.

Answer 1

Es fácil ver que$|U_1(x)|\leq\frac{\sqrt3}{2}$ y$|U_2(x)|\leq\frac{3}{4}$ para cada$x$.

Suponga que$|U_k(x)|\leq\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^k$ para cada% real$x$ y cada$k\leq n$, para algunos$n\ge2$.

• Si$|\sin{x}|\leq\frac{\sqrt3}{2}$, entonces$$|U_{n+1}(x)|=|\sin x|\cdot|U_n(2x)|\leq\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^n=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^{n+1}$ $

• Si$|\sin{x}|\geq\frac{\sqrt3}{2}$, entonces$|\cos{x}|\leq\frac{1}{2}$ y$|\sin{x}\sin2x|=|2(1-\cos^2x)\cos{x}|\leq\frac{3}{4}$. Así,$$|U_{n+1}(x)|=|\sin{x}\sin2x|\cdot|U_{n-1}(4x)|\leq\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^{n+1}$ $

Por inducción en$n\ge1$, estamos hechos.

Answer 2

Insinuación:

Supongamos que se cumple para$n=k$, es decir:$|U_k| \leq \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k$

Ahora lo que queremos mostrar para el producto para$n=k+1$ se reduce a$\leq \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1} \sin(2^{k}x)\sin(2^{k+1}x)$, ¿verdad? Si lo multiplicamos con$\cos(2^{k}x)$, ¿qué sucede?