¿Cómo puede ser $\frac{x^3-4x^2+4x}{x^2-4}$ $0$ y "indefinido" cuando $x = 2$?

Question

Supongamos que tenemos una función definida como %#% $ #%

Ahora quiero encontrar el valor de $$F(x)= \frac{x^3-4x^2+4x}{x^2-4}$. Puedo hacerlo de 2 formas:

1. Poner $F(2)$ y resolver la función. Dará:

   $x=2$ $ que no está definido.

2. Resuelve primero el $$F(2)=\frac{0}{0}$ y $F(x)$.

   $x=2$$

   Dará $$F(x)= \frac{x(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x(x-2)}{x+2}$ $, que es cero.

¿Cómo puede cero a igual no definido?

Answer 1

Recuerde que las funciones consisten no sólo de la regla de asignación , pero el dominio y codominio así. Por lo tanto, vamos $$f\colon\Bbb R\setminus\{\pm2\}\to\Bbb R,\quad f(x) = \frac{x^3-4x^2+4x}{x^2-4}$$ and $$g\colon\Bbb R\setminus\{-2\}\to\Bbb R,\quad g(x)=\frac{x(x-2)}{x+2}$$

Sólo mediante la inspección de dominios, usted puede ver inmediatamente que estos no son iguales funciones. Sin embargo, lo que sí muestran por su simplificación es que la restricción de $g$ $\Bbb R\setminus\{\pm 2\}$ es igual a $f$, es decir, $f(x) = g(x)$ todos los $x\neq\pm 2$.

Este es un error común que creo que es debido a la forma de las expresiones algebraicas se enseña en la escuela secundaria, ignorando por completo la definición de contexto en la cual esto está permitido. Se permite, por ejemplo, cuando uno toma un límite de las funciones:

$$\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2} g(x) = g(2) = 0$$

Pero, $\lim_{x\to 2}f(x) = 0$ no implica que $f(2) = 0$.

Otro ejemplo podría ser las funciones de $f(x) = \frac xx$ $g(x) = 1$ que son iguales en todos los puntos, sino $x=0$. De nuevo, dominios naturales de $f$ $g$ no son iguales.

Answer 2

Lo que has encontrado es una simplificación para $F(x)$, $x\neq 2, x\neq -2$ de siempre. El $(x^2 - 4)$ del denominador de la función original es indefinido en el $x = 2, \;x=-2:$ $(2^2-4) = (-2)^2 - 4 = 0$

Así que su simplificación

$$F(x)= \frac{x(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x(x-2)}{x+2}$$ is valid, $\forall x \in \mathbb R \setminus\{-2, 2\} $.

Answer 3

La razón es simplemente

$$ \frac{x^3-4x^2+4x}{x^2-4}$ $ y $$\frac{x(x-2)}{x+2}$ $

son dos expresiones diferentes.

Sus valores coinciden de hecho $x\ne2$ (y ambos son undefined $x=-2$), pero no son "mandato" para ser igual al $x=2$.

Este síntoma refleja la diferencia entre

$$\frac{x-2}{x-2}$$ and $$1.$$

Answer 4

"Solucionar $F(x)$" es el término equivocado. "Simplificar $F(x)$" encaja mejor. Uno resuelve problemas; uno resuelve ecuaciones; uno evalúa o a veces simplifica expresiones.

$\dfrac 5 0$ es indefinido porque no hay ningún número $x$ que $0x = 5.$

Pero $\dfrac 0 0$ no está definido porque hay muchos números de $x$ que $0x=0$, en lugar de sólo uno de esos números.

Un hecho básico de álgebra es que si se conecta un número dentro de un polinomio en una variable $x$ y consigue $0$, $x$ menos que el número es un factor del polinomio. Por ejemplo, supongamos que $$ f(x) = x^3 -7x^2 + 5x + 21 $$ así que $$ f(3) = 0. $$ Llegamos a la conclusión de que $$ x^3 -7x^2 + 5x + 21 = (x-3)(\cdots\cdots\cdots). $$ Usted todavía tiene que hacer un poco de trabajo encontrar el otro factor, y se obtiene $$ x^3 -5x^2 + 4x + 6 = (x-3)(x^2 - 4x - 7). $$ (Factoring $x^2-2x-2$ más no nos interesan por ahora.)

Ahora supongamos que usted divida esto por otro polinomio que es $0$ al $x=3$; por ejemplo, $g(x) = x^2 - 4x + 3.$ Desde $g(3)=0$, a la conclusión de que $g(x) = (x-3)(\cdots\cdots\cdots)$, y cuando encuentre el otro factor que se tiene $ g(x) = (x-3)(x-1).$

Ahora mira a $\dfrac{f(x)}{g(x)},$ y ver que $\dfrac {f(3)}{g(3)} = \dfrac 0 0$ es indefinido.

Ahora simplificar: $$ \frac{f(x)}{g(x)} = \overbrace{ \frac{x^3 - 7x^2 + 5x + 21}{ x^2 - 4x + 3} = \frac{x^2-4x-7}{x-1}}^{\text{si } x\ne3} {} \underbrace{ {} = \frac{-10}{2} = -5}_{\texto{cuando }x=3}. $$

Estamos diciendo que $\dfrac 0 0 = -5$? Estamos diciendo $\dfrac{f(x)}{g(x)} = -5$ al $x=3$?

No, no estamos, porque uno de los "iguales" signos es cierto cuando se $x\ne3$ y el otro al $x=3$, por lo que lógicamente no podemos concluir que el $\dfrac{f(3)}{g(3)} = -5.$

Sin embargo, nos puede concluir que $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ puede hacerse tan cerca de $-5$ como se desee, haciendo $x$ lo suficientemente cerca, pero no igual, a $3$. Y que se expresa diciendo $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ enfoques $-5$ $x$ enfoques $-3$, o diciendo $\dfrac{f(x)}{g(x)} \to -5$$x\to-3$, o diciendo $\lim\limits_{x\to3} \dfrac{f(x)}{g(x)} = -5.$