la evaluación del polinomio de Jones de un enlace alterno en $ t= -1 $ .

Question

He estado mirando algunos polinomios de gráficos y encontré una muy buena relación entre el famoso polinomio de Tutte de gráficos y el no menos famoso polinomio de Jones de enlaces.

Usando esta relación fui capaz de mostrar, que para un enlace alterno $ L $ con un diagrama alterno $D$ :

$$ \lvert V_{L} (-1) \rvert = \# \{ \text {spanning trees of the Tait graph of } D \}. $$

(Utilicé el polinomio Tutte del gráfico Tait de $D$ .)

Luego encontré en este documento la igualdad: $$ \lvert V_{L} (-1) \rvert = \det (L) $$ para $ L $ un enlace alternativo.

Así que mi pregunta es:

Para un enlace alternativo $ L $ con un diagrama alterno $ D $ ¿Cómo puedo probar que $$ \det (L) = \# \{ \text {spanning trees of the Tait graph of } D \}? $$

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Creo que la igualdad que has mostrado es bien conocida, aunque no sé dónde está escrita (esto es algo cercano pero ortogonal a mis intereses, así que no te tomes esta opinión demasiado en serio). De hecho, creo que el primer autor del artículo que enlazaste lo mencionó en una charla reciente a la que asistí.

No estoy seguro de lo que quieres demostrar si ya te crees las igualdades que has escrito, pero de hecho $V_L(-1)=\Delta_L(-1)$ es verdadera para cualquier enlace (donde $\Delta_L(t)$ es el polinomio de Alexander y el determinante suele definirse como $|\Delta_L(-1)|$ ).

Según Wolfram.Mathworld, la igualdad $V_L(-1)=\Delta_L(-1)$ está presente en el artículo de Jones de 1985 en el que introdujo el polinomio, por lo que podría ser un buen punto de partida.

Para entretenernos: hay una interpretación "interesante" de la relación que has demostrado por un matemático bastante famoso fuera de la teoría de nudos http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion1.html

Answer 2

En Una expansión de árbol de extensión del polinomio de Jones , Morwen Thistlethwaite (enlace de la revista aquí , enlace pdf aquí ) demuestra que si $G$ es el gráfico de Tait de un diagrama alterno $D$ de un enlace $L$ entonces el polinomio de Tutte de $G$ evaluado en $x=-t$ y $y=-t^{-1}$ es el polinomio de Jones de $L$ (hasta la multiplicación por $\pm t^k$ para algunos $k$ ). Su resultado relacionado con $|V_L(-1)|$ al número de árboles de extensión en el grafo de Tait $G$ se obtiene dejando que $t=1$ en el resultado de Thistlethwaite.

Cabe destacar que en este trabajo Thistlethwaite utiliza la relación entre el polinomio de Tutte y el polinomio de Jones para demostrar algunas de las conjeturas de Tait sobre las propiedades de los enlaces alternos.