¿Por qué la ecuación de Schrödinger no contiene un término de $mc^2$ ?

Question

Admitiendo el ansatz

$$=e^{i(kx- t)} \tag{1}$$ entonces $$k^2=-^{-1} \frac {^2}{x^2} \tag{2}$$ y

$$=i^{-1} \frac {}{t} \tag{3}$$

Si se admite que el energía total ( $E$ ) está relacionado con el momento ( $p$ ) como $E=\frac{p^2}{2m}+U$ admitiendo también las relaciones de De Broglie $E=$ ; $p=k$ se deduce que

$$\frac {-^2}{2m} \frac {^2}{x^2}+U= i \frac {}{t} \tag{4}$$

Esta es la ecuación de Schrödinger. Se dice que esta ecuación es no relativista por el uso de $E= \frac{p^2}{2m}+U$ ( en rigor de verdad sin embargo, no es relativista porque no es invariante de Lorentz).

Sin embargo, partiendo de la ecuación de energía total relativista

$$E=\frac{1}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}mc^2=T+mc^2 \tag{5}$$

Dónde, $T$ es la energía cinética y $mc^2$ la energía propia de la partícula. Ahora, utilizando la ampliación de $\frac{1}{ \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}mc^2$

$$E=mc^2 + \frac{mv^2}{2} + \frac{3mv^4}{8c^2} + \frac{5mv^6}{16c^4}+...$$

e ignorando los miembros que dividen por $c$ (porque estamos considerando $v\ll c$ ). Se convierte en

$$E=\frac{1}{2} mv^2+mc^2=T+mc^2 = \frac{p^2}{2m}+mc^2 \tag{6}$$

o

$$\frac{p^2}{2m}+mc^2==\frac{^2k^2}{2m}+mc^2 \tag{7}$$

Así que, $mc^2$ no se desvanece incluso bajo la aproximación clásica.

Admitiendo que las ecuaciones de Planck y De Broglie son válidas en cualquier situación y que $E$ en la ecuación de Planck es el energía total sustituyendo la ecuación (2) y (3) en (7) la ecuación de Schrödinger "tendría" la forma

$$\frac {-^2}{2m} \frac {^2}{x^2}+mc^2 = i \frac {}{t} \tag{9}$$

Ahora podríamos postular esta ecuación, haciendo que los pasos para obtenerla sean menos fundamentales que el resultado final.

Traté de considerar que $T \ll mc^2$ en la ecuación de Schrödinger, pero me doy cuenta de que un electrón en el átomo de hidrógeno moviéndose con la mitad de la velocidad de la luz (usando las ecuaciones clásicas ya que estamos analizando la ecuación de Schrödinger) tendría menos de $\rm 100keV$ ( $\rm 64keV$ si mis matemáticas no están equivocadas) de energía cinética, pero $\rm 511keV$ de la energía propia.

Entonces, mi pregunta es por qué la ecuación de Schrödinger no tiene un $mc^2$ término, si se supone que $$ es la energía total y no sólo la energía cinética.

Answer 1

Sólo porque para introducir el término constante añadido $mc^2I$ al operador hamiltoniano equivaldría a redefinir $\psi \to \psi'= e^{imc^2 t/\hbar}\psi$ . Este tipo de fases no importan en QM. No se pueden ver midiendo ningún observable. Los estados puros son en realidad operadores de la forma $|\psi \rangle \langle \psi|$ y se ve que estas fases se anulan entre sí.

En cambio, si se sustituye la masa por un operador de masas con el espectro discreto el panorama cambiaría. En el límite clásico las rápidas oscilaciones temporales de las fases (estoy suponiendo que la masa es grande si se compara con las energías típicas del sistema), destruirían la coherencia de las superposiciones de diferentes masas dando lugar dinámicamente a la regla de superselección de la masa La regla de superselección de Bargmann (ver aquí ou aquí ).

Answer 2

En la mecánica cuántica no relativista, las partículas no pueden crearse ni destruirse, y cada partícula tiene una masa constante $m$ . Eso significa que el extra $E = mc^2$ La energía es sólo una constante, por lo que se puede restar añadiendo una constante al Hamiltoniano; sólo importan las diferencias de energía.

El $E = mc^2$ puede desempeñar un papel en la teoría cuántica de campos, ya que en ella se pueden crear o destruir partículas; por ejemplo, se libera en la aniquilación de pares, dando a los productos energía extra.

Answer 3

Digamos que empezamos con esta ecuación suya :

$$-\frac {\hbar^2}{2m} \frac {\partial^2\psi}{\partial x^2}+V\psi +mc^2\psi=i\hbar \frac {\partial \psi}{\partial t}$$

Ahora una simple transformación lo reduce a la forma original :

$$\psi = e^{Wt}\phi$$

$$-\frac {\hbar^2}{2m} e^{Wt} \frac {\partial^2\phi}{\partial x^2}+Ve^{Wt}\phi+mc^2e^{Wt}\phi=i\hbar e^{Wt} \frac {\partial \phi}{\partial t} + i\hbar W e^{Wt}\phi$$

Lo que se reduce a :

$$-\frac {\hbar^2}{2m} \frac {\partial^2\phi}{\partial x^2}+V\phi+mc^2\phi=i\hbar \frac {\partial \phi}{\partial t} + i\hbar W \phi $$

Y es fácil ver que $i\hbar W := mc^2$ recupera la forma original de la ecuación.

Así que lo que hemos hecho al añadir el término de masa en reposo ha sido añadir un término de fase bastante inútil que no nos aporta nada :

$$\psi = \phi \,\, exp\left( i\frac{mc^2}{\hbar} t\right)$$

Este es el cambio de fase que no tiene efecto neto que se discute en las respuestas de Valter Moretti y Ruslan

Answer 4

Consideremos una ecuación de Schrödinger:

$$-\frac {\hbar^2}{2m} \frac {\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x,t)\psi=i\hbar \frac {\partial \psi}{\partial t}.$$

Dejemos que alguna función de onda $\psi(x,t)$ sea su solución. Reemplacemos ahora $V(x,t)\to V(x,t)+\hbar W$ , donde $W=\mathrm{const}$ . La solución correspondiente de la nueva ecuación cambiará: $\psi(x,t)\to\psi(x,t)\exp(-iWt).$

Consideremos ahora un observable $K$ con el operador correspondiente $\hat K$ . Su valor esperado, calculado para la solución de la ecuación original, será

$$\overline K(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\psi(x,t)^*\hat K\psi(x,t).$$

Ahora vamos a sustituir $\psi$ en la integral anterior con la solución de la ecuación modificada donde desplazamos la energía potencial:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,(\psi(x,t)\exp(-iWt))^*\hat K(t)(\psi(x,t)\exp(-iWt))=\\ =\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\psi(x,t)^*\exp(iWt)\exp(-iWt)\hat K(t)\psi(x,t)=\\ =\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\psi(x,t)^*\hat K(t)\psi(x,t)=\overline K(t).$$

Se puede ver que, independientemente de la fase global, el observable $K$ parece lo mismo. Del mismo modo se puede comprobar que los elementos de la matriz de un operador también serán independientes de la fase global de las funciones base en las que se calculan los elementos de la matriz.

Cualquier cálculo físicamente relevante trata, en última instancia, de observables, no de valores particulares de funciones abstractas como una función de onda. Por lo tanto, no hay que preocuparse demasiado por la obtención de un factor de fase adicional al añadir o eliminar un término constante en el potencial.