Producto de cubos de series infinitas

Question

Si $$X=\left({342\over 344}\right)\left({511\over 513}\right)\left({728\over 730}\right)\dots$$ Hasta infinitos términos.. El valor de $x$ ¿enfoques? ¿Cuál es el enfoque del problema anterior? Se pueden expresar como cubos-1/cubos +1.¿Cómo simplificar más?

Answer 1

Sugerencia . Se puede utilizar un telescópico producto, escribiendo como $n \to \infty$ , $$ \begin{align} \prod_{k=7}^n\frac{k^3-1}{k^3+1}&=\prod_{k=7}^n\frac{k-1}{k+1} \cdot \prod_{k=7}^n\frac{k(k+1)+1}{k(k-1)+1} \\&=\prod_{k=7}^n\frac{k-1}{k} \cdot \prod_{k=7}^n\frac{k}{k+1} \cdot \prod_{k=7}^n\frac{k(k+1)+1}{k(k-1)+1} \\&=\frac6{n}\cdot \frac7{n+1} \cdot \frac{n(n+1)+1}{43} \\&\to ? \end{align} $$