Mostrar las series alternas $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{p_n}$ donde $p_n$ es el $n$ El primer primo converge

Question

Así que lo que quiero probar es:

Propuesta: Dejemos que $p_n$ sea el $n$ el primero. Entonces la serie alterna $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \dfrac{n}{p_n}$$ converge.

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Aquí está mi intento (original). ¿Podría alguien verificar que mi prueba está bien?

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Lema 1: Si $a_n$ et $b_n$ son secuencias y $\lim_{x\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$ entonces

$$\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ converges} \iff \sum_{n=1}^\infty b_n \text{ converges},$$ $$\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ diverges} \iff \sum_{n=1}^\infty b_n \text{ diverges}.$$

Prueba: Se desprende directamente del prueba de comparación de límites .

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Prueba de la proposición: Tenga en cuenta que por el Teorema de los números primos , $$p_n \sim n \log(n),$$ es decir, debido a $$\lim_{n\to \infty} \frac{p_n}{n \log(n)} =1.$$

Por lo tanto, según el lema 1, $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \dfrac{1}{\log (n)} \text{ converges} \implies \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \dfrac{n}{p_n} \text{ converges}.$$

Ahora, la serie $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \dfrac{1}{\log (n)}$ converge (como queda claro por la prueba de series alternas ). Como resultado, nuestra proposición queda demostrada.

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Nota (Clément C.): Como se menciona en los comentarios, este argumento en particular es defectuoso, ya que el "lema" utilizado no se cumple. (Concretamente, sólo se cumple para las secuencias positivas (o negativas), pero no para las que alternan de signo). Una prueba de convergencia (o divergencia) de la serie original sería bastante interesante.

Obsérvese también que la prueba de las series alternas no parece aplicarse aquí, ya que incluso con el teorema de los números primos no es obvio (y puede ser falso) que la secuencia $\left(\frac{n}{p_n}\right)_n$ es no creciente. Además, no está claro que el remedio "habitual" para esto (es decir, realizar una expansión en serie de Taylor de $\lvert a_n\rvert$ para obtener un número constante de términos que constituyan, cada uno por sí mismo, secuencias no crecientes; hasta llegar a un último término que sea el término de una serie absolutamente convergente) puede aplicarse aquí, ya que tal desarrollo de la serie parece dar sólo términos que disminuyen muy lentamente. (Es decir, alcanzar un término cuya seriación sea absolutamente convergente no parece ocurrir dentro de un número constante de términos).

Answer 1

Es un problema sin resolver ver Los primos suman el número 8

Porque el espacio entre dos primos consecutivos $n^{0.53}\geq g_n\geq 2$ para grandes $n$ y por PNT la brecha media es $\ln n$ .

Ahora se puede demostrar que si la mayoría de los huecos están lejos de $\ln n$ entonces la suma diverge, pero si la mayoría de los huecos están alrededor de $\ln n$ entonces la suma converge.

Incluso si se utiliza el límite dado por el famoso R.H. seguimos obteniendo que $ \sqrt{n} \ln n \geq g_n \geq 2$ que no ayuda.

Tal vez podría tener una oportunidad de ser resuelto utilizando la conjetura de Cramér para la brecha $O(\ln^2 n) \geq g_n \geq 2$ (no estoy seguro ya que no está resuelto).

Answer 2

La prueba de comparación de límites requiere términos positivos, como explicó por el usuario466572.

Posiblemente de más utilidad: Para $n \geq 6$ , $$ \log n + \log\log n - 1 < \frac{p_n}{n} < \log n + \log \log n \text{.} $$ (Ver Wikipedia: Teorema de los números primos:Aproximaciones para el $n^\text{th}$ prime .)

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Pero es evidente que esto no es suficiente para concluir, ya que la secuencia no es decreciente. Hay un gráfico de las sumas parciales de la serie, que muestra por qué podría converger, pero a un ritmo tan lento que probablemente necesitaríamos versiones superfuertes del Conjetura de Cramer en la brecha principal para mostrarla