Preimagen compacta de un punto por la función C¹

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}$ ( $m \geq 2$ ) sea un $C^{1}$ tal que, para algunos $c \in \mathbb{R}$ , $f^{-1}(c)$ es compacta y no vacía. Demuestre que $F=\{x \in \mathbb{R}^{m} | f(x) \leq c\}$ o $G=\{x \in \mathbb{R}^{m}| f(x) \geq c\}$ es compacto.

$F$ y $G$ son cerradas, entonces sólo necesito demostrar que una de ellas está acotada. He intentado demostrarlo por contradicción.

Answer 1

HINT

Consideremos una bola cerrada que contiene la preimagen del punto. Supongamos que ninguno de los otros dos conjuntos está contenido en esta bola. Tomemos un punto exterior donde el valor es > c , otro donde el valor es < c, y unámoslos por un camino que no intersecte la bola.