Hay una forma cerrada para esta serie:
$$\sum_{n=1}^\infty \left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \right)^2 \approx 1.273278374727530507449$$
(Computación Mathematica por Patrick Stevens).
Esto es, básicamente, una suma de cuadrados de los errores para todos los $n$ para el límite clásico se utiliza para definir $e$.
Hay algunas otras series similares de interés, lo que representa una suma de cuadrados de los errores? (Soy consciente de que podemos buid un conjunto infinito de esa serie mediante el uso de diversos límites para los distintos constantes, pero estoy pidiendo sólo sobre el bien conocido de la serie).
Realmente no tengo motivación, excepto por el hecho de que esta serie parece fundamental lo suficiente como para haber sido estudiado antes.
Además, existe un valor especial para un infinito producto:
$$\prod_{k=2}^{\infty} e \left(1-\frac{1}{k^2} \right)^{k^2}=\frac{\pi}{e^{3/2}}$$
(El link había estado aquí, pero se ha roto ahora).Actualización
Algunos intentos de reorganizar la serie:
$$e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^n \left( \begin{array}( n \\ k \end{array} \right) \frac{1}{n^k}$$
Por lo tanto, podemos escribir el término general como:
$$\left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \right)^2=\left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left(1-\frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{n^k} \right)+ \sum_{k=n-1}^\infty \frac{1}{k!} \right)^2$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sólo algunos consejos.
Ser $\,W(x)\,$ la rama principal de la función W de Lambert .
Basado en mi respuesta para el valor de la serie $\sum_\limits{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n\cdot 2\pi}\right)^ n$ obtenemos:
$\displaystyle f(x):=\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=-\int\limits_0^\infty \left(\frac{d}{dx}\left(\frac{W(-xte^{-t})}{xte^{-t}(1+W(-xte^{-t}))}\right)\right) dt$
$\displaystyle g(x):=\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n=\int\limits_0^\infty \left(\frac{d}{dx}\left(\frac{W(-xte^{-t})^2}{(xte^{-t})^2(1+W(-xte^{-t}))}\right)\right) dt$
Tenemos $\enspace \displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty x^{2n-2}\left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^2 = \frac{e^2}{1-x^2} – 2ef(x^2)+\frac{g(x)-g(-x)}{2x} $
y por lo tanto $\enspace\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^2 = \lim\limits_{x\uparrow 1} \left(\frac{e^2}{1-x^2} – 2ef(x^2)+\frac{g(x)-g(-x)}{2x}\right) \,$.
Nota: $\enspace$ por favor, entienda que no tengo diversión para calcular esto. :-)
Esto no es una respuesta.
Me he sorprendido un poco por el resultado dado por Wolfram Alpha. El primer resultado que obtuve de él era $1.26411$ y pidiendo más dígitos $1.2686765$ que corresponde a lo que escribiste.
Calcula la suma parcial $$S_p=\sum_{n=1}^{10^p}\left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \right)^2 $ $ y tiene los siguientes números $$ \left (\begin{array}{cc} p & S_p \\ 1 & 1.111547861 \\ 2 & 1.255063881 \\ 3 & 1.271433724 \\ 4 & 1.273093674 \end{matriz} \right)$$
