¿Es verdad $ \left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}$ $n \ge 3$?

Question

Tengo razón * creer que tiene la siguiente desigualdad:

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}$$

cada $n\ge3$. Estoy teniendo mucho probándolo... (inducción no funcionaba).

(Comentario: $n=2$ allí es una igualdad).

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* Mi razonamiento es muy enrevesada y está relacionado con un problema completamente diferente, estoy seguro de que hay un argumento sencillo.

Answer 1

La desigualdad es equivalente a $n<2(2-\frac{2}{n})^{n-1}$. $n\geq4$ Tenemos $2-\frac{2}{n}\geq \frac{3}{2}$. Así es suficiente para probar $n<2(\frac{3}{2})^{n-1}$, que $n\geq 4$ (puede utilizar la inducción para probar esto si quieres).

Answer 2

Tenemos que demostrar que $$(n-1)^{n-1}>\left(\frac{n}{2}\right)^n.$ $ que $f(x)=(x-1)\ln(x-1)-x\ln\frac{x}{2},$ donde $x\geq3$.

Por lo tanto, $$f'(x)=\ln(x-1)+1-\ln\frac{x}{2}-1=\ln\left(2-\frac{2}{x}\right)>0.$ Mus$, $f(n)\geq f(3)=2\ln2-3\ln1.5>0$ y terminados!

Answer 3

Si $f(x)=x(1-x)^{n-1}$ $$f'(x)=(1-x)^{n-1}-x(n-1)(1-x)^{n-2}=(1-x)^{n-2}(1-nx)$$

Por lo $f$ tiene un punto crítico en $x=\frac{1}{n}$. Desde $f(0)=f(1)=1$ y este es el único punto crítico en $(0,1)$, e $f(x)>0$$(0,1)$, usted tiene que $f(x)$ se maximiza cuando se $x=\frac{1}{4}.$, En particular, a continuación:

$$f\left(\frac12\right)<f\left(\frac 1n\right)$$

Esto es realmente cierto para cualquier real $n>1$ con la excepción de $n=2$ al $\frac{1}{2}=\frac{1}{n}$.

Si usted tiene un promedio ponderado de la moneda con probabilidad de $p$ de que salga cara, a continuación, $np(1-p)^{n-1}$ es la probabilidad de que en $n$ tiros, se conseguiría que exactamente uno de los jefes. Entonces lo que el argumento de arriba que dice es que, para maximizar la probabilidad de obtener uno de los jefes en $n$ tiros, te gustaría $p=\frac{1}{n}$, que es algo intuitivo...

Answer 4

La desigualdad dada es iff $$n < 2^n\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-1},$ $ y la derecha varía como $2^n/e$ % grande $n$.