Encontré este artículo de matemáticas pop diciendo que había un documento publicado el año pasado que demostró que los cardinalities de los reales y naturales son iguales. ¿Es esto cierto o es una interpretación del resultado? Si bien es cierto, que me muero por saber lo que diferencia a bijection entre los dos es.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
ManuelSchneid3r
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Esto podría haber sido escrito más clara. Creo que la culpable es la sección:
El problema fue identificado por primera vez hace más de un siglo. En el tiempo, los matemáticos sabía que "los números reales son más grandes que los números naturales, pero no cuánto más grande. Es el siguiente tamaño más grande, o hay un tamaño entre?", dijo Maryanthe Malliaris de la Universidad de Chicago, co-autor de la nueva obra junto con Saharon Sela, de la Universidad hebrea de Jerusalén y la Universidad de Rutgers.
En su nueva obra, Malliaris y Sela resolver una relacionada con el 70-año-vieja pregunta acerca de si uno infinito (p) es menor que otro infinito (t). Se demostró que los dos son de hecho iguales, mucho a la sorpresa de los matemáticos.
Si se lee rápidamente, esto sugiere que el $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{t}$ se refieren a la cardinalidad del conjunto de los reales y el conjunto de los naturales, respectivamente. Este no es el caso, sin embargo.
Entonces, ¿qué tipo de cosas se $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{t}$ , entonces?
$\mathfrak{p}$ $\mathfrak{t}$ son lo que se conoce como el cardenal características de la continuidad (CCCs) - los cardenales que (i) es conocido por ser innumerables, y (ii) medida de lo grande que un conjunto de reales tiene que ser para tener un poco de "universalidad" de la propiedad.
Por ejemplo, una simple CCC es el que domina número, $\mathfrak{d}$: este es el más pequeño de la cardinalidad de un conjunto $F$ funciones $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que para cada una de las $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ hay algo de $f\in F$ tal que $f(n)>g(n)$ para todos, pero un número finito de $n$ (se dice $f$ domina $g$). Claramente $\mathfrak{d}$ es en la mayoría de continuidad (ya que es como muchas de las funciones $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ hay en el primer lugar), y también innumerables: si $f_i:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$i\in\mathbb{N}$, la función $$h(i)=\sum_{j\le i}f_j(i)=f_1(i)+f_2(i)+...+f_i(i)$$ is not dominated by any of the $f_i$s.
Otro sencillo CCC es el delimitador número, $\mathfrak{b}$. Este es "dual" a $\mathfrak{d}$ (en el sentido de que puede ser hecho preciso): $\mathfrak{b}$ es el tamaño más pequeño de la familia de todo $G$ funciones $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ son tales que no sola $f$ domina todas las funciones en $G$. De nuevo, $\mathfrak{b}$ es claramente en la mayoría de continuo, y es incontable, desde cualquier countably muchas funciones pueden ser dominado por una sola función (pensar en la construcción de la $h$ anterior).
Ahora el cardenal aritmética es muy maleducado - incluso hechos básicos sobre ella tienden a ser indecidible en ZFC. Por ejemplo, ZFC no demostrar que $\kappa<\lambda \implies 2^\kappa<2^\lambda$. Así que es muy emocionante ver ZFC-hechos probados sobre el infinito cardinalidades; por el contrario, es importante entender que cuando ciertas preguntas que no se pueden resolver en ZFC solo. En este contexto, lo que nos importa es la comparación de los Ccc. Podemos pensar en ello de esta manera: los dos trivial CCCs se $\omega_1$ ("el tamaño más pequeño de una multitud innumerable de reales") y $2^{\aleph_0}$ ("el tamaño más pequeño de un conjunto que contiene todos los reales"); y en el medio tenemos el interesante CCCs. Por supuesto, si $\omega_1=2^{\aleph_0}$, a continuación, toda la imagen se derrumba; esta es la hipótesis continua, y es consistente con ZFC. En el extremo otro extremo, se sabe que nos puede separar ciertas CCCs - por ejemplo, que es consistente con ZFC que $\mathfrak{b}<\mathfrak{d}$. (Un tema interesante es la separación de múltiples CCCs simultáneamente - ver este MO pregunta.)
Esto deja abierto:
Lo igualdades entre CCCs podemos demostrar en ZFC? Qué desigualdades podemos refutar?
Como un ejemplo de esto último, ZFC demuestra que $\mathfrak{b}\le\mathfrak{d}$ -, no podemos tener $\mathfrak{b}>\mathfrak{d}$ (este es un buen ejercicio). Más ampliamente, la colección de disprovable las desigualdades entre muchos CCCs (no incluidas $\mathfrak{p}$$\mathfrak{t}$, a pesar de que) se resume en Cichon del diagrama. Malliaris y Sela resultó ser un resultado de la ex-tipo - muestra que dos de CCCs en realidad eran iguales. Mi entendimiento es que este tipo de resultado es mucho, mucho más raro aún, en general, y, por supuesto, en este caso en particular fue muy sorprendente (véase Sela comilla en el artículo enlazado).
Por supuesto, no he intentado definir el $\mathfrak{p}$$\mathfrak{t}$; las definiciones que existen, pero es un poco técnico, y más hasta el punto de que es difícil ver por qué alguien se preocuparía. Un buen análisis de los mismos, no es algo que puede caber en un MSE respuesta, pero espero que lo que he escrito se explica un poco acerca de donde este tipo de cosas pueden venir de!
Estás malinterpretando lo que dice el artículo. Malliaris y Sela hizo probar que dos cardenales son iguales-o más bien, que dos definiciones de particular cardenales pasar a definir el mismo cardenal --, pero los cardenales que resultó igual no $|\mathbb N|$$|\mathbb R|$.
Este breve artículo de los enlaces en la parte inferior, no ofrecen las definiciones relevantes:
El cardenal $\mathfrak p$ es el mínimo de la cardinalidad de una colección de $\mathcal F$ de los infinitos subconjuntos de a $\mathbb N$, cuyas intersecciones finitas son infinitas, de tal manera que no existe un único infinito $A\subseteq \mathbb N$, de tal forma que cada elemento de a $\mathcal F$ contiene $A$, excepto para un número finito de error. El cardenal $\mathfrak t$ se define de manera similar, a excepción de uno sólo cuantifica sobre la familia $\mathcal F$ que están totalmente ordenado por la contención de módulo de un número finito de error.
