Demuestra que la proporción áurea es irracional por contradicción

Question

Me cuesta ver dónde está la contradicción en mi prueba. En un ejemplo anterior, $1/\phi = \phi-1$ donde $\phi$ es la proporción áurea $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ .

Como estoy demostrando por contradicción, empecé asumiendo que $$ is rational. Then, by definition, there exists $ a,b $ such that $ \phi = a/b $. After some simple calculations and using the result shown from my previous example, I found that $ \phi= b/(a-b) $. I also know that $ b < a$ de calcular directamente el cociente.

Sé que hay una contradicción en el resultado $ = b/(a-b)$ pero no puedo verlo. Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Esta es una idea que funciona directamente sin mostrar nada sobre $\sqrt 5$ :

Sabemos que $\varphi > 1$ por lo que si es racional, podríamos escribir $$ \varphi = \frac{a}{b},$$ donde $a > b > 0$ son números enteros y $\operatorname{gcd}(a,b) = 1$ . Entonces, utilizando la relación $\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1$ da $$ \frac{b}{a} = \frac{a - b}{b},$$ lo cual es una contradicción ya que $\operatorname{gcd}(a,b) = 1$ por la construcción y $a > b$ (sería una nueva reducción de una fracción que ya elegimos que se redujera completamente).

Answer 2

SUGERENCIA: $$\sqrt{5}=\frac{2a-b}{b}$$ es una contradicción, ya que los números $a,b$ son racionales y $$\frac{2a-b}{b}$$ también es racional y $\sqrt{5}$ es irracional

Answer 3

Si $\phi=\frac ab$ con $\gcd(a,b)=1$ entonces $\frac 1{\phi}=\phi-1\implies\frac ba=\frac ab-1\implies b^2=a^2-ab=a(a-b)$

Esto significa que $b\mid a(a-b)$ pero como $\gcd(a,b)=1$ entonces $b\mid a-b\implies b\mid a$ que es una contradicción.

Answer 4

Aunque Nitin mostró una excelente solución (mucho mejor que la mía), ya he escrito el enfoque de la solución de rutina. Así que lo voy a publicar de todos modos:

Si es racional, podemos escribirlo en forma de fracción $m/n$ donde $m$ y $n$ son enteros y no tienen factores comunes - siempre, de lo contrario no es racional. Así que tenemos $$\frac{\sqrt5+1}{2}=\frac{m}{n}$$ $$\sqrt5=\frac{2m}{n}-1$$ Pero $\frac{2m}{n}-1$ es racional porque $\frac{m}{n}$ es racional. Por lo tanto, $\sqrt5$ es racional. Pero no lo es. Tenemos una contradicción, por lo que el número entero debe ser irracional. q.e.d.

Si quiere demostrar que $\sqrt5$ es irracional. Haz lo mismo: si es racional, podemos escribirlo en forma de fracción $m/n$ donde $m$ y $n$ son números enteros y no tienen factores comunes (Podemos factorizar cualquier factor común). Así que tenemos $$\sqrt5=\frac{m}{n}$$ $$5=\frac{m^2}{n^2}$$ $$5n^2=m^2$$ Por lo tanto, $m$ es divisible por $5$ y podemos reescribirlo como $m=5k$ . Así que tenemos $$5n^2=25k^2$$ $$n^2=5k^2$$ Por lo tanto, $n$ también es divisible por 5 y podemos reescribirlo como $n=5p$ . Por lo tanto, la fracción $\frac{m}{n}$ puede simplificarse porque el numerador y el denominador tienen un factor común de $5$ lo que contradice nuestra suposición de que no habrá factores comunes. Esto no puede ser, así que $\sqrt5$ no puede ser racional. Por lo tanto es irracional. q.e.d.

Answer 5

Supongamos que $\phi$ es racional. De $\frac{1}{\phi} = \phi - 1$ vemos que $\phi$ satisface el polinomio $\phi^2 - \phi - 1 = 0$ . Por el teorema de la raíz racional , $\phi = p/q$ donde $p | -1$ y $q | 1$ , obligando a $\phi = \pm 1$ . Pero ninguno de ellos es una raíz, contradiciendo que $\phi$ es racional. Por lo tanto, $\phi$ no es racional.