En su libro "Polytopes, Anillos, y la K-Teoría de la" Bruns y Gubeladze boceto de un enfoque alternativo para la Gordan del Lema, que se expresa en el título (f.g. = finitely generado). No entiendo la conclusión final aquí.
La herramienta clave en su razonamiento es el siguiente lema:
Lema 4.12. Deje $R$ $\mathbb{Z}$- graduado noetherian anillo, $R_+ = \bigoplus_{k \geq 0} R_k$, e $R_- = \bigoplus_{k \leq 0} R_k$. Entonces
(a) $R_0$ es un noetherian anillo, y cada gradual componente $R_i$ es un finitely generadas $R_0$-módulo;
(b) $R$, $R_+$ y $R_-$ son finitely generadas $R_0$-álgebras.
Ahora en el fin de demostrar Gordan del lexema los autores argumentan de la siguiente manera:
Considere la posibilidad de un afín monoid1 $M$ y un racional hyperplane $H$ a través del origen. La elección de una forma lineal definición de $H$, podemos definir un $\mathbb{Z}$-clasificación en $M$, y obtener ese $M \cap H^+$ es un afín monoid. Por inducción sobre el número de apoyo hyperplanes de una racional cono $C$ se sigue que $M \cap C$ es afín.
Si estoy entendiendo que es el derecho de los autores quieren usar el hecho de que un monoid $M$ es finitely generado si y sólo si $k[M]$ es un finitely generadas $k$-álgebra (para cualquier campo fijo $k$). Está claro que $k[M \cap H^+]$ es equivalente a $R_+$ $k$- álgebra $R = k[M]$ clasificados con respecto a la forma lineal definición de $H$. Pero ahora el lema anterior sólo se garantiza que $k[M \cap H^+]$ es finitely generado como $R_0$-álgebra, y no tenemos $k = R_0$ en general (en realidad,$R_0 = k[M \cap H]$). ¿Cómo podemos concluir que $k[M \cap H^+]$ es un finitely generadas $k$-álgebra?
1: Para mayor comodidad: Un afín monoid es un finitely generado submonoid de $\mathbb{Z}^n$ algunos $n$, y se considera para ser incrustado en $\mathbb{R}^n$.
En resumen: creo que todo el problema se puede reducir a las siguientes preguntas: Si $M \subset \mathbb{Z}^n$ es un finitely generado submonoid y $H \subseteq \mathbb{R}^n$ es un racional hyperplane a 0, entonces, ¿por qué es la intersección $M \cap H$ también finitely generado? ¿Cómo podemos obtener los generadores de $M \cap H$ de los generadores de $M$ (algoritmos)?
Desde Bruns y Gubeladze no mencionar a esta pregunta, hay una solución obvia que se me olvida, o los autores completamente por alto este problema que parece menos probable para mí.
Un problema relacionado: en Realidad, Lema 4.12. es simplemente un caso especial de los consecutivos teorema, donde el noetherian anillo de $R$ es calificado por un finitely generado grupo abelian $G$ (en lugar de $\mathbb{Z}$), y $R_+$ es reemplazado por la suma directa de los componentes homogéneos $A = \bigoplus_{m \in M} R_m$ pertenecientes a algunas finitely generado submonoid $M \leq G$. El enunciado del teorema es análogo. En particular, $A$ es reclamado para ser finitely generado como un álgebra sobre $R_0$.
En la prueba de los autores comienzan con el caso especial, donde $G = \mathbb{Z}^n$ $M$ se compone de todo el entramado de puntos de algunos racional de cono. Aquí todo el razonamiento es:
En este caso M es cortado por un número finito de halfspaces y la demanda de la siguiente manera por un reiterado de aplicación de Lema 4.12.
Es el mismo argumento que el anterior, me estoy perdiendo aquí: En el fondo nos quieren mostrar que la $A$ es finitely generado más de $R_0$. Pero este "final de álgebra" $R_0$ con respecto al $G$-calificación puede ser algo completamente diferente de los "intermedios álgebras de" $R_0$ con respecto a algunas de las $\mathbb{Z}$-clasificaciones a las que queremos aplicar el Lema 4.12. Tengo la sensación de que estamos perdiendo generadores de $A$ de esta manera.
