Forma de calcular esta probabilidad

Question

En primer lugar, si esta pregunta es demasiado básico para las matemáticas.stackexchange, me disculpo. Yo no estaba seguro de dónde más preguntar, pero si tienes una sugerencia me voy feliz de tomar la cuestión en otros lugares.

Estoy totalmente matemáticamente puro, y me hicieron una pregunta teórica no sé cómo responder. La pregunta es:

Given:
I want to invite as many people as possible to my birthday party.
I do not want people who have the same birthday as me to attend.
Everyone I invite who does not share my birthday will attend.
People who do share my birthday will be jealous and only have
a 1 in 3 chance of attending the party if they are invited.

How many invitations should I send if I want there to be no more than
a 50% chance of someone with the same birthday as me showing up?

Ahora, yo trataba de acercarse a este de la siguiente manera:

La probabilidad de que un azar de otra persona tienen el mismo cumpleaños que es 1/365. La posibilidad de que alguien que tiene el mismo cumpleaños que iba a aceptar la invitación es 1/3. Por lo tanto, la combinación de la probabilidad de que alguien tenga la misma fecha de nacimiento y de elegir a asistir es 1/1095.

Cada vez que otra persona asiste estamos agregando una oportunidad más de los de arriba sucediendo, así que podemos pensar en esto como:

0.5 = n/1095

por lo tanto

n = 0.5 / (1/1095) = 547.5

Bueno, me dijeron que lo anterior no es correcto, pero la razón por la que yo estaba equivocado y la manera correcta de acercarse a la comprensión de este problema no se me explicó.

Podría alguien explicar mi error y la forma correcta de calcular esta probabilidad problema? Gracias!

Answer 1

La probabilidad de que alguien se invita, comparte su cumpleaños, y atiende, como usted ha señalado, es $\dfrac{1}{1095}$. Así que la probabilidad de que con una invitación, que esto no suceda, es $p=\dfrac{1094}{1095}$. De ello se deduce que la probabilidad de que esto no suceda con $n$ invitaciones es $p^n$.

Queremos que el mayor $n$ tal que $p^n \ge \dfrac{1}{2}$.

Resolver la ecuación $$\left(\frac{1094}{1095}\right)^x=\frac{1}{2}.$$ Tomando logaritmos, se obtiene $$x\log(1094/1095)=\log(1/2).$$ La calculadora da $x\approx 758.65$.

Por lo $n=758$ tendrá la probabilidad de un choque justo debajo de $1/2$, e invitando a uno de los más haría que la probabilidad de un choque un poco más de $1/2$.

Nota: a menudo es difícil explicar por qué un determinado procedimiento es malo, aparte del hecho de que se da una respuesta incorrecta. Tal vez aquí se puede decir un poco más.

Imaginar invitamos a la gente una después de la otra, responder, y dejamos de invitar después del primer choque. Luego resulta que la mediana del número de invitados es $\dfrac{1095}{2}$. Esta fue su respuesta sugerida, y es razonable basado en la intuición.