Índice cuando sea superior a primer semestre segundo semestre

Question

Que $n$ ser un entero positivo y de forma independiente aleatoria números $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$ $(0,1)$ uniformemente. ¿Que $i(x)$ ser el menos índice tal que $$x_1+\dots+x_{i(x)}>x_{i(x)+1}+\dots+x_n.$$ Define $i (y) $ similarly. As $n $ grows, is it true that the probability that $i (x) = i (y) $ approaches $0$?

Puesto que el número de índices crece con $n$, la probabilidad de que $i(x)=i(y)$ debe bajar porque es poco probable que se coinciden. Pero, ¿cómo puede esto demostrarse formalmente?

Answer 1

Desde $x$ $y$ son independientes, $$ \mathsf{P}_n\big(i(x) = i(y)\big) = \sum_{k=1}^{n-1}\mathsf{P}_n\big(i(x) = i(y)=k\big) = \sum_{k=1}^{n-1}\mathsf{P}_n\big(i(x) = k\big)^2\\\le \max_{j}\mathsf{P}_n\big(i(x) = j\big)\sum_{k=1}^{n-1}\mathsf{P}_n\big(i(x) = k\big) = \max_{j}\mathsf{P}_n\big(i(x) = j\big). $$ Por lo tanto, es suficiente para probar que la última cantidad se desvanece. Hay muchas maneras de hacer esto, voy a esbozar uno de ellos. Parece claro que $\max_{j}\mathsf{P}_n\big(i(x) = j\big)$ es alcanzado$^*$$j_n = \lceil n/2\rceil$. Ahora $$ \mathsf{P}_n\big(i(x) = j_n\big)\le \mathsf{P}_n\left(0\le \sum_{k=1}^{j_n} x_k - \sum_{k=j_n+1}^n x_k\le 2\right)\le \mathsf{P}_n\left(\left| \sum_{k=1}^{n-j_n} (x_k-x_{n+1-k})\right|\le 2\right). $$ Las variables $z_k = x_k-x_{n+1-k}$ son iid y centrado, así que por el teorema central del límite, $$ \mathsf{P}_n\left(\left| \sum_{k=1}^{n-j_n} (x_k-x_{n+1-k})\right|\le 2\right) = \mathsf{P}_n\left(\frac{1}{\sqrt{n-j_n}}\left| \sum_{k=1}^{n-j_n} (x_k-x_{n+1-k})\right|\le \frac{2}{\sqrt{n-j_n}}\right)\\ = O\left(\frac1{\sqrt{n-j_n}}\right) = O\left(\frac1{\sqrt{n}}\right) \quad n\to\infty. $$ (Creo que la verdadera tasa de convergencia es $O(1/n)$.)

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$^*$ El argumento todavía funciona si $j_n = n/2 + o(\sqrt{n})$, $n\to\infty$, lo que sigue a partir de CLT.