Representación de matriz de subgrupos

Question

Supongamos que yo quería describir el subgrupo de $GL_n(\mathbb{R})$ de las matrices de la forma

$$ \left [ \begin{array}{cc} A & B \\ 0 & C \\ \end{array} \right ] $$

donde $A \in GL_k(\mathbb{R}),\; C \in GL_{n-k}(\mathbb{R})$ y se dice que para el argumento de $B \in M_{k, n-k}(\mathbb{R})$. Cuál es la forma correcta para expresar lo que este subgrupo es el uso de la de los otros grupos $GL_k(\mathbb{R}), GL_{n-k}(\mathbb{R})$, e $M_{k,n-k}(\mathbb{R})$? Por ejemplo, yo sé que el especial Euclidiana grupo que tiene la forma de $SE(n) = SO(n) \ltimes \mathbb{R}^n$, pero no estoy seguro de donde esta derivación vino. En última instancia, me gustaría ser capaz de recrear las simples descripciones de la matriz en los subgrupos de este tipo. En última instancia, mi objetivo es tomar los cocientes de ciertos matriz Mentira grupos, así que me gustaría saber cuando subgrupos de este tipo puede ser representado como directa o semi-directa de los productos de ciertos subgrupos.

Las solicitudes de referencia y explicaciones completas son bienvenidos.

Answer 1

Esto corresponde a una parte de la Grassmanian Colector de corrosponding a $GL(n)$. En particular, es la parte corrosponding a $(0, k, n)$ sequeunce en la Bandera de la descomposición, a menudo llamado un Indicador de la variedad (o generalizada de la bandera de la variedad). Actúa fleely y transitivly, y de hecho, no es difícil convencerse de que, si usted llame a su grupo $G_{k, n}$, $BG_{k, n}$ es precisamente esta parte del colector (Si tu nuevo que el extraño hábito de poner $B$ frente de los grupos, se denomina clasificación de espacio). Esto es una tontería, pero es un poco lo que creo que Vanchinathan estaba poniendo en los comentarios. Ahora por tu pregunta.

Tenemos una proyección de mapeo de $G_{k, n}\to GL(k)\times GL(n-k)$ dado por olvidar la parte superior triangular de la parte. La comprobación de que este es un grupo homomorphism es un ejercicio fácil. Ahora el núcleo de este mapa consta de matrices cuyas $A=I_k$$C=I_{n-k}$. Ahora la multiplicación en este subgrupo normal puede calcularse fácilmente, y de hecho, está dada por la adición de la $C$-componentes. Así, el subgrupo puede ser hecho isomorfo a $M_{k, n-k}$ bajo la suma. Así pues, tenemos una secuencia exacta $0\to \mathbb{R}^{k(n-k)}\to G_{k,n}\to GL(k)\times GL(n-k)\to 0$. Ahora este se divide (por la clara inclusión en cualquiera de los lados), así también por la división de lema, se puede escribir como un semi-producto directo: $G_{k, n}=GL(k)\times GL(n-k)\ltimes \mathbb{R}^{k(n-k)}$.

Esto le da el isomorfismo para $SE(n)$ cambiando $GL=SO$ $n=1$ señalando que $SO(1)=*$.