He buscado muchas veces acerca de la causa de la fórmula del área del círculo, pero no sabía nada así que ...
¿Por qué es el área del círculo $\pi r^2$?
Gracias por todos aquí.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$%emptyuselesstextemptyuselesstextemptyuselesstext$
Roger Hoover
Puntos
56
El área de un círculo con un radio de $r$ es sólo $r^2$ veces el área del círculo unidad, por homothety. De manera que el área del círculo es el cuadrado del radio de veces una constante universal, dada por: $$\begin{eqnarray*}2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx &=& 4\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = 2\int_{0}^{1}x^{-1/2}(1-x)^{1/2}\,dx\\ &=& 2\frac{\Gamma(1/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(2)} = \color{red}{\Gamma(1/2)^2}.\end{eqnarray*}$$
Michael Hardy
Puntos
128804
Un número de diferentes maneras de mostrar este existe. Primer aviso de que la zona tiene que ser $(\text{constant}\cdot r^2)$ debido a que el área de una región de cualquier forma en un plano debe ser proporcional al cuadrado de las distancias. E. g. si multiplicamos todas las distancias por $3$, entonces el área se multiplica por $9$. Y "constante" en este caso significa que es el mismo número, independientemente de lo $r$ es. Así que ahora la pregunta es: ¿por Qué la "constante" ser igual a la razón de la circunferencia al diámetro?
Como $r$ aumenta, tenemos \begin{align} \text{rate of growth of area} & = \text{size of boundary} \times\text{rate of motion of boundary} \\ & = \text{circumference} \times \text{rate at which %#%#% is changing} \\ & = 2\pi r \times \text{rate at which %#%#% is changing}. \end{align} De cálculo, recordemos que $$ \text{tasa de cambio de $r$} = 2 r \times\text{tasa de cambio de $r$}. $$ Así tenemos $$ \text{tasa de crecimiento de área} = \pi\times \text{tasa de cambio de $r^2$}. $$ De manera que el área crece a la misma tasa a la que $r$ crece. Que los hace iguales si son iguales al $r^2$. Y es fácil ver que son iguales al $\pi r^2$.
Eso es sólo una manera de hacerlo; hay otros.
PD: Suponiendo que no sabemos cálculo; ¿cómo sabemos que $$ \text{tasa de cambio de $r=0$} = 2 r \times\text{tasa de cambio de $r=0$}\text{ ?} $$ Podríamos hacerlo de la siguiente manera. Un cuadrado cuyo lado tiene una longitud de $r^2$ está creciendo por su lado norte está moviendo hacia el norte y el lado este se está moviendo hacia el este. Entonces \begin{align} & \text{rate of growth of %#%#%} \\ = {} & \text{rate of growth of square's area} \\ = {} & \text{size of moving boundary}\times\text{rate of motion of boundary} \\ = {} & 2r \times \text{rate of change of %#%#%}. \end{align}
HDE 226868
Puntos
1954
Es el evauluation de la integral definida $$2\int_{-r}^{r}y\,dx$$ donde $y=\sqrt{r^2-x^2}$, por lo que es realmente $$2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx$$ En otras palabras, es dos veces el área bajo la curva de $y$,$x=-r$$x=r$.
No hay manera de evaluar esta integral con una fórmula simple, como sería si, por ejemplo, $y=x^3$. El método más común utilizado es una forma de sustitución trigonométrica, donde $x \to \sin u$. A partir de aquí, es fácil demostrar que $$dx=\cos u \, du$$ y, entonces, la integral anterior se convierte en $$\int_{-r}^{r} \cos u \sqrt{r^2-\sin^2u}\,du$$ Si $r=1$, podemos usar $$\cos^2u=1-\sin^2u$$ para hacer esto más fácil: $$\int_{-r}^{r} \cos^2u\,du$$ De lo contrario, se necesita algo de práctica para obtener la respuesta.
Por cierto, este método es especialmente útil con puntos suspensivos ($A=\pi ab$).
Stephan Aßmus
Puntos
16
Un poco de variedad, el círculo de la geodésica radio de $\rho$ en la unidad de la esfera tiene área $$ 2 \pi (1 - \cos \rho).$$ i will look that up in a minute...Yep, compared with THIS, take their $r=1$ and $h=1-\cos \rho.$
Menos familiar, el círculo de la geodésica radio de $\rho$ en la no-Euclidiana del plano de curvatura constante $(-1)$ es $$ 2 \pi (\cosh \rho - 1). $$
Vaya Usted A Saber.
En ambos casos, el límite de $\rho \rightarrow 0$ está de acuerdo con $\pi \rho^2,$ el error es de tamaño $O(\rho^4).$
