Demostrando la conservación de energía para la ecuación de onda

Question

Hola chicos, tengo un examen parcial mañana y estaba haciendo este problema de práctica en el que necesito ayuda.

Cualquier pista o solución sería apreciada. Gracias por su tiempo

Problema

La cabeza del timbal está constituida por algún tipo de membrana elástica que está estirada sobre un recipiente circular; en lenguaje matemático, estamos estudiando el desplazamiento $u$ de la membrana como una función $u(x, y, t)$ definida en $D = \{(x,y,t) \ |\ x^2 + y^2 \leq R, \ -\infty < t < \infty\}$, donde $R$ es el radio del recipiente. La función $u$ satisface la Ecuación de Onda bidimensional

$u_{tt} = c^2(u_{xx} + u_{yy})$

con condiciones de frontera de Dirichlet $u = 0$ en el borde. Demuestra la conservación de la energía $E(t)$, definida como

$E(t) = \frac{1}{2} \iint\limits_D u_{t}^2 + c^2 (u_{x}^2 + u_{y}^2) dxdy$

[Pista: Procede como lo hicimos para el caso unidimensional y usa el teorema de la divergencia para "integrar por partes", lo cual no comprendo]

Asumamos ahora que tomamos en cuenta la fricción entre el aire y la membrana; el desplazamiento de la membrana ahora satisface la Ecuación de Onda amortiguada, que se lee:

$u_{tt} - c^2 (u_{xx} + u_{yy}) = -vu_{t}$

con las mismas condiciones de frontera. Muestra que, en este caso, la energía siempre es una función estrictamente decreciente excepto si $u(x, y, t) = 0$, en cuyo caso es constante igual a $0$. [Pista: ¿Qué condición debe satisfacer $u_t$ para que E sea no decreciente? ¿Qué EDP cumplirá u? Concluye usando el principio del máximo]

Mi intento:

Así que primero encontré la derivada de E(t) y si la derivada de E(t) = 0 entonces sé que la energía se conserva y utilicé la integral por partes en tres dimensiones para resolver eso.

para obtener $\iint 2u_{t}u_{tt} = 0$ porque está decreciendo. Como la derivada es 0, E es constante con el tiempo

por lo tanto, la energía se conserva.

Pero no comprendo la última parte, por favor cualquier ayuda o pista sería muy apreciada.

Gracias

Answer 1

Primera parte: multiplicar la ecuación por $u_t$ e integrar sobre el área de la membrana. El resultado se integra por partes (explicado a continuación)

$$0=\int [u_t u_{tt}-c^2 u_t (u_{xx}+u_{yy})]dx dy=\int [u_t u_{tt}+c^2 (u_{tx}u_{x}+u_{ty}u_{y})]dx dy\\ =\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int [u_{t}^2+c^2 (u_{x}^2+u_{y}^2)]dx dy$$

y la energía se conserva. La integración por partes es una aplicación del teorema de la divergencia en 2D (o el teorema de Green). Lo escribo en notación vectorial:

$$\int \nabla\cdot(u_t\nabla u)dx dy = \int u_t \nabla u\cdot d\mathbf{n}$$

donde $d\mathbf{n}$ es un elemento de línea dirigido hacia afuera. El RHS se anula debido a las condiciones de frontera.

Segunda parte: repetir con la ecuación amortiguada y en su lugar encontrar que ahora

$$\frac{dE}{dt}=-\nu\int u_t^2\, dx dy$$

lo cual es negativo.