Los puntos extremos de la unidad de la bola en $C(X)$

Question

Deje que $X$ ser un espacio compacto de Hausdorff y $C(X)$ es el espacio de las funciones continuas en la supernorma.

Leí en Douglas'. Las técnicas de álgebra de Banach en la teoría del operador que los siguientes son equivalentes:

1) $f \in C(X)$ es un punto extremo de la bola de la unidad;

y

2) $|f(x)|=1$ para todos $x \in X$ .

Es fácil mostrar que 2) implica 1). Sin embargo, no puedo mostrar lo contrario.

Podría mostrar que $f$ es extrema implica $\|f\|=1$ pero esto está lejos de lo que necesitamos.

Mi suposición: si 2) es falso. Intentamos construir una función no negativa $r$ en $X$ que es estrictamente positivo cuando $|f(x)| \neq 1$ y mientras tanto \begin {ecuación} |(1+r)f| \le 1 \end {ecuación} en $X$ . Entonces podemos descomponernos \begin {ecuación} f= \frac {1}{2}(1+r)f+ \frac {\i1}{\b1}(1-r)f.{\b}{\b1}(1-r){\b}{\b1} {\b}{\b1} {\b1}(1-r){\b1} {\b1} {\b1} {\b1} {\b1} {\b1} {\b1} {\b1} {\b1} {\b1} \end {ecuación} Si $|f|$ está limitada por $0$ Entonces $r=-1+1/|f|$ sería una buena elección, pero no puedo descartar el caso cuando $f$ se desvanece en ciertos puntos.

¿Alguien puede ayudar? ¡Gracias!

También un problema relacionado, Douglas dice entonces que estos puntos extremos de la bola de la unidad se extiende por todo el $C(X)$ . ¿Alguien puede dar una pista sobre esto?

¡Gracias!

Answer 1

Estás bastante cerca: no mires $(1 \pm r)f$ miren $f \pm r$ en su lugar.

Hay $ \varepsilon \gt 0$ de tal manera que el conjunto $U = \{x : \lvert f(x) \rvert \lt 1- \varepsilon\ }$ no está vacía. Deje que $u \in U$ ser arbitrario. El lema de Urysohn da una función $g$ de tal manera que $g(u) = 1$ y $g|_{U^c} \equiv 0$ . Toma $r = \varepsilon g$ . Luego $f = \frac {1}{2}(f+r) + \frac {1}{2}(f-r)$ muestra que $f$ no es extrema porque $ \lvert f(x) \pm r(x) \rvert \leq 1$ para todos $x$ .

Answer 2

Supongamos que $ \varepsilon =|f(t_0)|<1$ para algunos $t_0$ . Por continuidad existe $V \ni t_0$ , abierto, con $|f(t)-f (t_0)|<(1- \varepsilon )/2$ para todos $t \in V$ . Ahora deja $g$ ser una función continua, apoyada en $V$ de tal manera que $g(t_0)=1- \varepsilon $ y $|g| \leq (1- \varepsilon )/2$ .

Luego $|f \pm g| \leq1 $ y $f= \frac12 (f+g)+ \frac12 (f-g)$ así que $f$ no es extremo.

Editar: con respecto a tu segunda pregunta, es algo que ya sabes. $C(X)$ es una C unital $^*$ -algebra, por lo que cualquier elemento es una combinación lineal de cuatro unidades, por el truco habitual de escribir un número complejo $a+ib$ con $|a+ib| \leq 1$ como $$ \begin {align} a+ib=& \frac12\left ([a+i(1-a^2)^{1/2}]+[a-i(1-a^2)^{1/2}] \right ) \\ &+ \frac {i}2 \left ([b+i(1-b^2)^{1/2}]+[b-i(1-b^2)^{1/2}] \right ) \end {align} $$