¿Es el subgrupo conmutador de un subgrupo conmutador en sí mismo?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo multiplicativo. El conmutador de $a,b\in G$ es el elemento $aba^{-1}b^{-1}$ . (Ahora $a,b\in G$ conmutan si su conmutador es la identidad). El subgrupo conmutador de $G$ , denotado como $[G,G]$ es el subgrupo generado por todos los conmutadores de todos los elementos.

Ejemplo. Si $G$ es abeliano, entonces todo conmutador es la identidad, por lo que el subgrupo conmutador $[G,G]$ es el grupo trivial.

(El subgrupo conmutador se utiliza para construir el abelianización de $G$ como el cociente $G/[G,G]$ que he encontrado en el aprendizaje de la homología).

Ahora, un elemento arbitrario de $[G,G]$ no tiene por qué ser a su vez un conmutador. Entonces, ¿es el subgrupo conmutador de $[G,G]$ de nuevo todo $[G,G]$ ? Si no, ¿existe una caracterización fácil de los grupos $G$ para el que el subgrupo conmutador de $[G,G]$ es de nuevo $[G,G]$ ?

Answer 1

Dejemos que $G=S_3$ . Entonces $[G,G]=A_3$ (ver respuestas a esta pregunta ) que es abeliana por lo que $[A_3,A_3]=\langle e\rangle\ne[G,G]$ .

Answer 2

Un grupo para el que $G=G'$ se llama perfecto . Tal vez quiera leer este . Todos los grupos simples no abelianos pertenecen a esta categoría.

Answer 3

El subgrupo conmutador suele llamarse subgrupo derivado y se denota $G'$ . Esto hace que sea fácil escribir su subgrupo derivado como $G''$ . Un ejemplo de grupo con $G''\ne G'$ es $G=A_4$ .

Si, en cambio, consideramos grupos de matrices triangulares superiores sobre una campo finito, podemos obtener secuencias $G\supset G'\supset G''\supset\cdots$ que finalmente se estabilizan después de cualquier número finito de pasos.