¿Cómo probar que la serie $\sum (-1)^n\sin^4n /\sqrt{n}$ converge?

Question

Tengo una serie: %#% $ de #% ¿cómo podemos demostrar que converge?

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Generalmente, con $$\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin^4n}{\sqrt n}.$ utilizamos la prueba de comparación, pero sólo se aplica cuando los términos son no negativos.

Answer 1

Sugerencia: Observando que $$ \sin^4n=\frac{1}{8}(3-4\cos(2n)+\cos(4n)) $ $ tienes\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin^4n}{\sqrt n}&=&\frac{3}{8}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{1}{\sqrt n}-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos(2n)}{\sqrt n}+\frac{1}{8}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos(4n)}{\sqrt n}. \end{eqnarray} ahora puede hacer el resto para mostrar que #% el %#% y $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos(2n)}{\sqrt n}$ son convergentes.