convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}a_n$ implica la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty a_n$

Question

¿Cómo la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}a_n$ implica la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty a_n$?

Sé que este si $a_n>0$. Pero arbitraria $a_n$, no tengo ni idea...

Answer 1

Sigue de Teorema de Abel: si converge $\sum c_n$ $\{d_n\}$ es monótona y acotada y $\sum c_nd_n$ converge. Que $c_n=\sqrt{n}a_n$ y $d_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$

Answer 2

Parece una situación para la prueba de Abel, muy útil en esta no serie absolutamente convergente:

1. La serie $c_n = \sqrt{n}a_n $ produce una suma convergente,
2. $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ es monótona y acotada.

Entonces $\sum_\limits{n} b_n c_n = \sum_\limits{n} a_n $ también es convergente.