¿Tiene la categoría de complejos Simplicial finitos límites y colimits?
¿Conserve el functor de realización geométrica?
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Aleksandr Levchuk
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Deje $\mathbf{S}$ ser la categoría de simplicial complejos en el sentido de que usted describe. Considere la posibilidad de la plena subcategoría comprende el $n$-simplices $\Delta^n$. No es difícil ver que esto es isomorfo al pleno de la subcategoría $\mathbf{F}$ $\mathbf{Set}$ generado por los conjuntos de $[n] = \{ 0, \ldots, n \}$, por lo que tenemos un functor $N : \mathbf{S} \to [\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ mediante el envío de un complejo simplicial $Y$ a la presheaf $\mathbf{S}(\Delta^{\bullet}, Y)$. Para mayor brevedad, escribimos $X_n$ en lugar de $X([n])$ al $X$ es un objeto en $[\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$.
La proposición. El functor $N : \mathbf{S} \to [\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ así definido es totalmente fiel y ha dejado adjunto.
Prueba. Está claro que $N$ es fiel, porque una de morfismos de simplicial complejos es determinado por su acción sobre los vértices. No es difícil comprobar que también está lleno. Deje $\mathrm{cosk}_0 : \mathbf{Set} \to [\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ ser el functor que envía un conjunto $V$ a la presheaf $\mathop{\mathrm{cosk}_0} V$ definido por $(\mathop{\mathrm{cosk}_0} V)_n = \mathbf{Set}([n], V)$. Claramente, cada objeto $X$ $[\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ admite un único morfismos $X \to \mathop{\mathrm{cosk}_0} X_0$ que actúa como el evidente bijection $X_0 \to \mathbf{Set}([0], X_0)$ en el grado 0. Definir $L X$ a ser la imagen de $X$$\mathop{\mathrm{cosk}_0} X_0$. A continuación, el hom-mapa del juego $$[\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}](L X, N Y) \cong [\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}](X, N Y)$$ inducida por el canónica de morfismos $X \to L X$ es un bijection. Yo reclamo que $L X$ es isomorfo a $N K X$ para algunos simplicial complejo de $K X$. De hecho, tome el vértice conjunto de $K X$$X_0$, y declarar $A \subseteq X_0$ $n$- simplex si $A$ es la imagen en el grado 0 de algunos monomorphism $\Delta^n \to L X$. Desde $N$ es totalmente fiel, la connaturalidad de la anterior bijection implica entonces que $K$ es un functor $[\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}] \to \mathbf{S}$ y la izquierda adjunto para $N$. ◼
Corolario. $\mathbf{S}$ tiene límites y colimits para todos los pequeños diagramas.
Prueba. Este es un estándar de hecho sobre reflexivo subcategorías: es fácil comprobar que la colimit de un diagrama de $Y : \mathcal{J} \to \mathbf{S}$ puede ser calculada como $L({\varinjlim}_\mathcal{J} N Y)$, $N : \mathbf{S} \to [\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ crea todos los (pequeños) de los límites. ◼
Es que no me queda claro si es o no el geométrica realización functor $\mathbf{S} \to \mathbf{Top}$ conserva colimits. Sin embargo, no conservar aún binario de productos: en $\mathbf{S}$, $\Delta^n \times \Delta^m \cong \Delta^{n m + n + m}$ (debido a que el Yoneda incrustación $\mathbf{F} \to [\mathbf{F}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ conserva los productos, y $N \Delta^n$ es isomorfo a la presheaf representado por $[n]$), que tiene la mala dimensión! Esta es una razón para preferir simplicial pone sobre simplicial complejos.
