intervalos infinitesimales en la física

Question

La densidad de Estados de un sistema en un intervalo de $[E, E+dE]$ está dada implícitamente por $dV = D(E)dE$ (o supongo que explícitamente, $D(E) = \frac {dV}{dE}$, pero va ser integración de todos modos, así que no importa).

¿Hay alguna manera de afirmar esto sin usar el infinitesimal en el intervalo? Odio cuando los físicos infinitesimales, alrededor del tiro y pueden encontrar generalmente una declaración más matemática, pero ¿qué podía hacer yo aquí?

Answer 1

Cuando un trabajo físico escribe $dV=D(E)\>dE$, esto se entiende como una heurística de maniobra, y él no espera de usted que usted va a interpretar esto en términos de limpiar la geometría diferencial, por no hablar de análisis no estándar. La intención de la interpretación es la siguiente, y la lectura de estas líneas se puede conjeturar la cantidad de contenido que se presenta en la fórmula simple al comienzo:

Hay un cierto $E$-intervalo de $\Omega\subset {\Bbb R}$, y para cada subconjunto razonable $I\subset \Omega$ "volumen" $V(I)$ de los estados se define. Esto significa que $V(\cdot)$ es una medida en $\Omega$. En el caso que nos ocupa podemos codificar esta medida en una densidad de $D:\>\Omega\to{\mathbb R}$. Esta densidad está relacionada con $V(\cdot)$ a través de la fórmula $$V\bigl([a,b]\bigr)=\int_a^b D(E)\>dE\qquad \forall\ [a,b]\subset\Omega\ .$$ De ello se sigue que la función de $\phi:\>x\mapsto V\bigl([a,x]\bigr)$ satisface $$\lim_{h\to 0+}{V\bigl([a,x+h]\bigr)-V\bigl([a,x]\bigr)\over h}=D(x)\ ,$$ que luego pueden ser condensados en ${dV\over dx}(x)=D(x)$.

Answer 2

Estos infinitesimals (y muchas otras que aparece en la física) puede interpretarse como diferencias finitas, $\Delta E$, por ejemplo. Por lo tanto, la densidad obtenida mediante $\Delta V=D(E)\Delta E$ sería una densidad media. Para obtener la densidad que desee, sólo tiene que tomar el límite de $\Delta E\to 0$ de esta ecuación.

Tenga en cuenta que, infinitesimals y diferencias finitas no son la misma cosa. Pero en un punto de vista científico el error que se obtiene al usar uno en lugar del otro es aceptable, ya que cada experimental de medida tiene un error intrínseco asociado a ella.

Por otro lado, infinitesimals no tiene una definición rigurosa en el análisis estándar, aunque algunas personas afirman que se pueden poner en un riguroso ajuste mediante el uso de no-estándar de análisis, pero no sé nada acerca de él. Si usted se olvida por un momento el concepto de infinitesimal que has aprendido, los diferenciales (no infinitesimals) son lineales funcionales, o más generalmente, de 1-formas. Por lo tanto, le sugiero que puede ir más allá y estudio de la no-estándar de análisis o simplemente olvidarse de que el término "infinitamente pequeño".

Answer 3

El físico Pierre Duhem escribió:

Considere la posibilidad de una secuencia continua de estados de un mismo sistema, el que fijar la atención en estos diferentes estados en el orden que nos permite cambiar entre ellos de forma continua. Para identificar este intelectual de la operación a la que nos sometemos todos los matemáticos de los sistemas utilizados para representar el conjunto de concreto cuerpos, decimos que se imponen en el sistema virtual de un cambio.

[...]

Los cambios en los valores numéricos de las variables utilizadas para definir el estado del sistema debe ser compatible con las condiciones que, lógicamente, el resultado de la definición del sistema, pero sólo con estas condiciones. Y en particular, los cambios en los valores numéricos de bien pueden contradecir las leyes experimentales que rigen el sistema de todos los concretos órganos que nuestros matemáticos abstractos sistema tiene el deber de representar.

^{(citado en Capecchi la Historia de Trabajo Virtual de las Leyes ch. 18.1 "de Pierre Duhem del concepto de obra", pág. 397; originalmente de Duhem de 1911 Traité d''énergétique ou de thermodynamique générale)}