Retirada de divisores de Cartier

Question

Que $f:X \to Y$ sea un morfismo de esquemas (reducida no no necesariamente). Asumir $X$ es lisa y $f$ localmente es un Homeomorfismo. Que $D$ sea un divisor de Cartier en $Y$. Sabemos que el % de retroceso $f^*(D)$otra vez es un divisor de Cartier. ¿Si $f^*(D)$ es efectiva entonces es cierto que $D$ es eficaz?

Answer 1

La respuesta es no en general, pero tal vez usted podría poner más condiciones en $X$$Y$, de modo que es cierto. Tome $Y$ a ser de cualquier variedad, vamos a $D_1,D_2\subseteq Y$ ser subvariedades de codimension 1, y deje $D=D_1-D_2$. Si tomamos $X=Y\backslash D_2$, luego de la retirada de $D$ $X$es sólo $D_1$, que es eficaz.

Editar Si $f$ es surjective, entonces es verdadero. Si $D=F_1-F_2$, $F_1$ $F_2$ efectivo divisores que no tienen componentes comunes, a continuación,$f^*D=f^*F_1-f^*F_2$. Ya que esto es efectivo, tenemos que $f^*F_2$ aparece en $f^*F_1$. A nivel local en un punto $x\in X$, $f^*F_1$ es de la forma $g\circ f=0$ donde $g$ es una función regular en $f(x)$ definición de $F_1$. Por otra parte, tenemos que si $F_2$ se administra localmente por $h=0$$f(x)$, $h\circ f\mid g\circ f$ en el anillo local $\mathcal{O}_{X,x}$. Si $U$ es un afín barrio de $x$ $V$ es su imagen, entonces podemos asumir que $U$ $V$ son homeomórficos, y por lo $h\mid g$. Pero, a continuación, $F_2$ aparece en $F_1$, una contradicción. Por lo tanto, $F_2$ debe ser igual a $0$.