Un problema de la diversión por Arnold usando el teorema de recurrencia de Poincaré

Question

Me encontré con este problema por V. I. Arnold, mientras que el estudio de su mecánica clásica libro.

Considere la posibilidad de una secuencia en la que el $n^{th}$ plazo está constituido por considerar que el primer dígito de $2^n$, los primeros términos son: $1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4,.. $

Mediante el uso de la recurrencia de Poincaré teorema, que diga si (probar que) el número de $7$ aparecerá y que entre la cantidad de $7$ $8$ aparecerá más a menudo, y cuánto.

Ahora todos sabemos que este teorema es muy útil en muchas áreas de la Física, especialmente de la Mecánica Estadística, pero aquí Arnold es realmente destacando que también tiene un valor abstracto!

Tal vez es un super problema fácil, pero lo pensé un poco, y no podía encontrar una manera decente de hacerlo.. es crucial para resolver el problema mediante el uso de este teorema, estoy seguro de que es más fácil hacerlo de otra manera, pero el objetivo es mostrar cómo se aplica la recurrencia del teorema es.

Answer 1

$2^{46}=70368744177664$ 7 definitivamente aparecen.

El primer dígito de un número $x$ puede ser encontrado por:

$$\left\lfloor10^{frac\left(\log x\right)}\right\rfloor$$

Aquí $\log$ es el logaritmo en base 10. Así, el primer dígito es de 7 iff:

$$\log7 \le frac\left(\log x\right) \lt \log8$$

Y es 8 iff:

$$\log8 \le frac\left(\log x\right) \lt \log9$$ Ahora ya

$$\log{2^n}=n\log2$$

Tenemos que rango de valores dentro de $\left[0;1\right)$ estará representado, y su frecuencia será proporcional al tamaño del rango (es decir. la distribución es uniforme). Desde $\log9-\log8\lt\log8-\log7$, podemos ver los dígitos $7$ más a menudo que $8$, y en general, el más pequeño de los dígitos, más a menudo aparecerá.

De hecho, hice mi computadora calcule los primeros dígitos de $2^n$$0\le n\lt 1000000$, y me dio: $$ \begin{matrix} 1: & 301030 \\ 2: & 176093 \\ 3: & 124937 \\ 4: & 96911 \\ 5: & 79182 \\ 6: & 66947 \\ 7: & 57990 \\ 8: & 51154 \\ 9: & 45756 \\ \end{de la matriz} $$

Usted se dará cuenta de que estos cargos son todos más o menos igual a $1000000\cdot\left(\log{\left(d+1\right)}-\log{d}\right)$

Answer 2

Una pista:

Uno tiene$x_n:=\log_{10}\bigl(2^n\bigr)=n\>\kappa$, donde$\kappa:=\log_{10}(2)$ es irracional. De ello se desprende que el$x_n$ se distribuyen uniformemente módulo$1$. Ver también la ley de Benford.

No es necesario teorema de recurrencia de Poincaré para esto.

Answer 3

Recuerdo que uno, así como las preguntas acerca de cómo de alto animales pueden saltar (si los animales se aproximan por las cajas de curso)! Realmente precioso libro. De todos modos! Queremos escribir $2^n=a\times10^k$, $1\leq a< 10$, y, a continuación, tomar el logaritmo en base 10, para obtener el $n \log_{10}2=k+\log_{10}a$. Ahora sólo voy a decir que el $k$ es poco importante, por lo que tenemos $n \log_{10}2\equiv \log_{10}a \,(\mod 1)$. El modulo debe recordar que de un cierto objeto geométrico, así que usted puede aplicar el teorema y se nota que probablities son proporcionales a las longitudes, y usted debe encontrar, por ejemplo $$P_7=P(7\leq a< 8)=P(\log_{10}7\leq a< \log_{10}8)=\log_{10}8-\log_{10}7\approx 5.8\%,$$ and similarly $P_8\aprox 5.1\%$, que es un poco intuitivo. Tuve que decirle a mi equipo a hacer un pequeño bucle y confirmar que, como esperaba que hubiese más 8 de 7!