Considere la posibilidad de la expansión en series de Taylor para $f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$:
$$f(x) \approx \frac12 + \frac{x}{4} - \frac{x^3}{48} + \frac{x^5}{480} + \cdots.$$
Vemos que, aparte de que el término constante, sólo impar de términos en la expansión.
Ahora, echemos un vistazo a la Wiener-Askey polinomio caos representación de una variable aleatoria uniforme mediante una variable aleatoria normal estándar.
Deje $z \sim U(0,1)$$\zeta \sim \mathcal{N}(0,1)$. Aleatoria gaussiana variables pertenecen a la de Gauss-Hermite polinomio caos. Deje $\Phi_i(\zeta)$ representan el $i$ésimo polinomio de Hermite.
Entonces, podemos decir que
$$z = \sum_{i=0}^\infty z_i\Phi_i(\zeta).$$
El $z_i$ coeficientes son deterministas, se pueden calcular a ellos utilizando el método de Galerkin
$$z_i = \frac{\left\langle z\Phi_i(\zeta)\right\rangle}{\left\langle \Phi_i^2\right\rangle} = \frac{1}{\left\langle\Phi_i^2\right\rangle} \int_{-\infty}^\infty z\Phi_i(\zeta) w(\zeta) d\zeta$$
donde $w(\zeta)$ es la función de ponderación que viene de la ortogonalidad de los polinomios. Por supuesto, para los polinomios de Hermite, la función de ponderación es (dentro de una escala de la variable independiente) de la distribución normal de PDF!
La presencia de $z$ en el integrando es problemático, pero podemos deshacernos de ella, echando a $\zeta$ $z$ a un uniforme de la variable aleatoria $u$ mediante el uso de una función inversa de la muestra transformar. Yo te ahorraré los detalles, a menos que usted quiera, pero al final se obtiene una serie de coeficientes.
Como resulta que, al $i$ es par y mayor que cero, el resultado integrando es una función impar! Por lo tanto, nos quedamos con una serie de coeficientes, y una unidad plazo.
Esta unidad plazo, cuando los $i=0$, siempre representa la media de la variable. Dado que la media de $z$ es de 0,5, entonces esperamos que $z_0 = 0.5$.
Ahora, fíjate en la expansión de Taylor. El $x^0$ coeficiente de 0,5, el $x^1$ coeficiente es de 0,25, etc.
Ahora, aquí están los coeficientes de Gauss-Hermite representación de una distribución uniforme:
$$\{ 0.5, .282, 0, -0.0576, 0, 0.01934, \ldots\}.$$
(Nota: estos coeficientes son a escala polinomios de Hermite tal que $\langle \Phi_i\Phi_j \rangle = \delta_{ij}.$)
Estos son los coeficientes de los polinomios, pero si usted sub ellos, obtendrás algo bastante parecido a lo que se muestra en la expansión de Taylor.
Cuantos más términos se toman en el trunca polinomio caos de expansión, el plano que usted consigue. En alrededor de 12 términos, el resultado es casi perfectamente uniforme. Por eso, $\sigma \sim \sqrt{2}/2$ parece una muy buena opción!
