La lectura acerca de la métrica de Schwarzschild en la relatividad general veo que a veces $$L=g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$$ and sometimes $$L=\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}.$$ Cual es la manera correcta?
También cómo es la energía de las $E$ define como $$E=-\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{t}}}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}~?$$ Debido a $E$ aquí no tiene unidades de energía. Me estoy perdiendo algo aquí?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Todd White
Puntos
4257
El modo correcto es definir el reparametrization invariante en acción
$$ S[X] = \int d\tau \sqrt{g_{\mu \nu} (X(\tau)) \cdot \frac{dX^{\mu}}{d\tau} \frac{dX^{\nu}}{d\tau} }. $$
Tenga en cuenta que la elección de $\tau$ es arbitrario. El sistema tiene un gran grupo de simetrías gauge - esos son reparametrizations de la worldline (diferentes opciones de $\tau$).
Una manera de lidiar con esto es el indicador de arreglar el sistema. Por ejemplo, podemos elegir el conjunto de $\tau$ a ser un momento adecuado a lo largo de la línea geodésica (inducida por la métrica):
$$ d\tau = \sqrt{g_{\mu \nu} (X(\tau)) dX^{\mu} dX^{\nu}}. $$
Pero esto implica inmediatamente que la raíz cuadrada de la acción está restringida a ser igual a $1$. Esta es la razón por la que es conveniente a la caída de la raíz cuadrada ( $\sqrt{1} = 1$ , ¿verdad?) y escribir
$$ L = g_{\mu \nu} (X(\tau)) \cdot \frac{dX^{\mu}}{d\tau} \frac{dX^{\nu}}{d\tau}. $$
Pero esto sólo funciona si $\tau$ es el momento adecuado.
También, se debe multiplicar el Lagrangiano por el general factor de $m$. Esto restaurará las unidades de energía.
