Este es un problema que me envió un amigo, pero no pude resolverlo, en particular, no tengo ideas para ello.
Espero que me puedan ayudar con pistas o cualquier cosa .
Aquí está el problema en la imagen .
Respuestas
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Esto se conoce como Teorema del trisector de Morley .
Anthony Shaw
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Teorema de Morley: Toma un triángulo cualquiera y triseca sus ángulos. Para cada lado del triángulo, considera el punto de intersección de las trisectrices de los ángulos de ese lado más cercanos a él. El triángulo que tiene estos puntos como vértices es equilátero.
Esto se conoce como Triángulo de Morley por Frank Morley, que lo descubrió en 1899.
La prueba presentada aquí, que fue publicada en sci.math el 16 de marzo de 1996, comienza con un triángulo equilátero. Dado un triángulo cualquiera, construimos un triángulo similar que tenga este triángulo equilátero en las intersecciones de sus trisectores. Por similitud, el triángulo dado debe tener un triángulo equilátero en la intersección de sus trisectores.
Sean los vértices del triángulo equilátero $P$ , $Q$ y $R$ y que los ángulos del triángulo dado sean $A$ , $B$ y $C$ . Usando los lados de $\triangle PQR$ como bases, erigir los siguientes triángulos isósceles exteriores $\triangle PQR$ : $$ \triangle PSQ\quad\text{with}\quad\angle PSQ=\tfrac23A\\ \triangle QTR\quad\text{with}\quad\angle QTR=\tfrac23B\\ \triangle RUP\quad\text{with}\quad\angle RUP=\tfrac23C $$ Dibuja los siguientes círculos: $$ \text{$ D_S $ centered at $ S $ passing through $ P $ and $ Q $}\\ \text{$ D_T $ centered at $ T $ passing through $ Q $ and $ R $}\\ \text{$ D_U $ centered at $ U $ passing through $ R $ and $ P $}\\ $$ Añade los siguientes puntos: $$ \text{$ P_S $ and $ Q_S $ on $ D_S $ so that $ \overline{P_SP}=\overline{PQ}=\overline{QQ_S} $}\\ \text{$ Q_T $ and $ R_T $ on $ D_T $ so that $ \overline{Q_TQ}=\overline{QR}=\overline{RR_T} $}\\ \text{$ R_U $ and $ P_U $ on $ D_U $ so that $ \overline{R_UR}=\overline{RP}=\overline{PP_U} $}\\ $$ Dibuja las siguientes líneas: $$ \text{$ L_P $ containing $ P_U $ and $ P_S $ (perpendicular to $ |PP_S} $ if $ P_U=P_S $)}\\ \text{$ L_Q $ containing $ Q_S $ and $ Q_T $ (perpendicular to $ \N - Sobre la línea{QQ_T} $ if $ Q_S=Q_T $)}\\ \text{$ L_R $ containing $ R_T $ and $ R_U $ (perpendicular to $ \N - Sobre la línea {RR_U} $ if $ R_T=R_U $)} $$ Añade los siguientes puntos: $$ \text{$ V_S $ at the intersection of $ L_P $ and $ L_Q $}\\ \text{$ V_T $ at the intersection of $ L_Q $ and $ L_R $}\\ \text{$ V_U $ at the intersection of $ L_R $ and $ L_P $}\\ $$ Esta construcción se ilustra en la imagen superior.
Ahora demostraremos que $\triangle V_SV_TV_U$ tiene ángulos $A$ , $B$ y $C$ y que $\triangle PQR$ está en la intersección de los trisectores de sus ángulos. Utilizaremos implícitamente el hecho de que $A+B+C=\pi$ . Recuerda que $\triangle P_UPP_S$ , $\triangle Q_SQQ_T$ y $\triangle R_TRR_U$ son isósceles.
Por la construcción anterior, es fácil demostrar que $$ \left.\begin{align} \angle P_SPQ&=\pi-\tfrac23A\\ \angle QPR&=\tfrac13\pi\\ \angle RPP_U&=\pi-\tfrac23C \end{align}\right\}\angle P_UPP_S=\tfrac13(C+A-B) $$ $$ \left.\begin{align} \angle Q_TQR&=\pi-\tfrac23B\\ \angle RQP&=\tfrac13\pi\\ \angle PQQ_S&=\pi-\tfrac23A \end{align}\right\}\angle Q_SQQ_T=\tfrac13(A+B-C) $$ $$ \left.\begin{align} \angle R_URP&=\pi-\tfrac23C\\ \angle PRQ&=\tfrac13\pi\\ \angle QRR_T&=\pi-\tfrac23B \end{align}\right\}\angle R_TRR_U=\tfrac13(B+C-A) $$ Considere el pentágono $PP_SV_SQ_SQ$ cuyos ángulos suman $3\pi$ : $$ \begin{align} \angle QPP_S&=\pi-\tfrac23A=\tfrac13(A+3B+3C)\\ \angle PP_SV_S&=\tfrac12(\pi+\angle P_UPP_S)=\tfrac13(2C+2A+B)\\ \angle V_SQ_SQ&=\tfrac12(\pi+\angle Q_SQQ_T)=\tfrac13(2A+2B+C)\\ \angle Q_SQP&=\pi-\tfrac23A=\tfrac13(A+3B+3C)\\ \text{total}&=2A+3B+3C=3\pi-A\\ \angle P_SV_SQ_S&=A \end{align} $$ Así, $\angle P_SV_SQ_S=A$ . Porque el ángulo central subtendido por las cuerdas $\overline{P_SP}$ , $\overline{PQ}$ y $\overline{QQ_S}$ es $2A$ el lugar de los puntos a partir de los cuales el ángulo subtendido por dichas cuerdas es $A$ es la parte de $D_S$ que no se extiende por esos acordes. Por lo tanto, $V_S$ está en $D_S$ y se deduce inmediatamente que $\overline{PQ}$ subtiende el tercio medio de $\angle P_SV_SQ_S$ .
De la misma manera, $\angle Q_TV_TR_T=B$ , $V_T$ está en $D_T$ y $\overline{QR}$ subtiende el tercio medio de $\angle Q_TV_TR_T$ .
De la misma manera, $\angle R_UV_UP_U=C$ , $V_U$ está en $D_U$ y $\overline{RP}$ subtiende el tercio medio de $\angle R_UV_UP_U$ .
