Convención sobre la no-negativos valores singulares?

Question

En la literatura que tengo en la disposición se afirma que los valores singulares no son valores negativos, y que, para una matriz simétrica $A$, la enfermedad vesicular porcina y la EVD coinciden. Esto significaría que los valores singulares de a $A$ son los autovalores de a $A$, pero los autovalores de a $A$ puede ser negativo, independientemente de $A$ ser simétrica.

Así que, me pregunto si la elección de los valores singulares de ser exclusivamente positivo es algún tipo de convenio? Si es así, ¿cómo degenerados que se da la observación anterior la equivalencia de la enfermedad vesicular porcina y la EVD para matrices simétricas?

Answer 1

Puede un factor de (no necesariamente cuadrada) de la matriz como ortogonal veces diagonal veces ortogonal, y la diagonal entradas no necesita todo ser no negativo. Pero la multiplicación de una fila o una columna de una matriz ortogonal por $-1$ da una matriz ortogonal, y usted puede hacer eso y el cambio de un menos a un más en la diagonal de la matriz. De esa manera, los dos ortogonal de matrices pueden ser elegidos de forma que la diagonal de las entradas en la matriz son todos no negativos. Esos son lo que son considerados como los valores singulares.

Es una convención para definir de esa manera. Pero sospecho que hay teoremas que dicen que la única forma de definir lo que hace que se haya especificado agradable propiedades, y los teoremas no serían meras convenciones.