interpretación de la independencia de eventos

Question

$\{A_i, i \in \mathbb{N} \}$ se definen a ser independiente, si $P(\cap_{k=1}^{n} A_{i_k}) = \prod_{k=1}^{n} P(A_{i_k}) $ para cualquier subconjunto finito de $\{A_i, i \in \mathbb{N} \}$.

1. Sabemos que $P(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) $ iff $\{A_i , i \in \mathbb{N}\}$ son distinto, que es independiente de la la probabilidad de medir y puramente depende de la relación entre el los conjuntos. Me preguntaba si es que posible de manera similar caracterizar/interpretar $\{A_i , me \in \mathbb{N}\}$ de ser independiente sólo a partir de la relación entre conjuntos, y hacerla independiente de la la probabilidad de medir tanto como posible si es imposible?
2. Es la definición de $\{A_i, i \en \mathbb{N} \}$ de ser independiente equivalente a $P(\carpeta cap_{i=1}^{\infty} A_{i}) = \prod_{i=1}^{\infty} P(A_{i}) $. ¿Cuál es el propósito de teniendo en cuenta que cualquier subconjunto finito en su lugar?

3. Es la generalización de la independencia de la probabilidad de espacio en general medir el espacio real?

   La única interpretaciones de la independencia que conozco son: medida puede ser intercambiado con el producto/de la intersección de conjuntos independientes, y de manera intuitiva, eventos independientes ocurran independientemente unos de otros. Son hay otra interpretación, especialmente en la medida general configuración del espacio?

Gracias y saludos!

Answer 1

No está seguro de su punto 2 fue dirigida, así que permítanme decir que la definición de la independencia como sugiere llevaría a un trivial noción, bastante diferente de la independencia como uno quiere.

Es decir, cualquier colección de conjuntos de $(A_i)_{i\ge1}$, finito o infinito, podrían ser parte de una colección mayor $(A_i)_{i\ge0}$ de manera tal que la condición indicada en 2 se tiene: simplemente añada $A_0=\emptyset$. Uno iba a decir que una secuencia es independiente, mientras uno de sus subsecuencias no lo es.

Así, el problema no tiene nada que ver con secuencias infinitas: para definir la independencia de $A$, $B$ y $C$ por la única condición de que $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$ (por lo tanto olvidar las condiciones adicionales que $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, $P(B\cap C)=P(B)P(C)$ y $P(A\cap C)=P(A)P(C)$) ya que conduce a una noción demasiado débil para modelar cualquier tipo de independencia, ya que las condiciones adicionales que acabo de escribir puede fallar.

Answer 2

Para la primera pregunta - usted puede encontrar fácilmente cualquier contraejemplos. La independencia está fuertemente conectada con una medida de probabilidad. Cada uno de los dos conjuntos de $A,B$ puede ser independientes (no independientes) por la elección de un adecuado medida $P$ si $A\cap B \neq \emptyset$. Si $A\cap B = \emptyset$ $A,B$ son siempre no-independiente.

Para la segunda pregunta - a mí me parece que las definiciones son las mismas. Sólo para la definición clásica de no usar infinito producto que es una cosas desordenadas.

Editado: para los que no intersectan $A,B$ se puede definir $P:P(A) = P(B) = 0$, pero en mi opinión estos conjuntos no son independientes en el sentido usual de la palabra, ya que su medida es cero. En efecto, si la r.v. toma un valor en $A$ nunca se puede tomar un valor en $B$ - esto es no trivial de información que hace que la aparición de $A$ $B$ dependiente.

Acerca de la interpretación - yo también estaba haciendo la misma pregunta hace algún tiempo en otro sitio. He de decir que la teoría de la probabilidad es la medida de la teoría de la + independencia + acondicionado (como para mí, $P(\Omega)=1$ es sólo un reescalado aunque muy importante). La independencia de hecho viene de el producto Cartesiano de los conjuntos que luego se convierte en independiente para el espacio del producto.

Imagine por ejemplo, rectángulo - entonces, para cualquier $x$ el intervalo de $y$ es el mismo. Pero en el círculo para cualquier $x$ el intervalo de $y$ cambios, por lo $y$ "depende" $x$ y el círculo no puede ser presentado como un producto Cartesiano en $x,y$. así, la independencia viene de estos hechos. Acondicionado proviene de los experimentos y es más no trivial de la propiedad después de la independencia (en el sentido de que sólo aparece en la teoría de la probabilidad).