Tal vez usted necesita tomar un más acercamiento elemental a este. De cuántas maneras puede el 27 de expresarse como un producto de números enteros positivos de grado 1? $$27 = 3 \times 9 = 3 \times 3 \times 3$$
Usted ya ha decidido y confirmado (en otras cuestiones) que el 3 es irreducible en este dominio, pero su correspondiente director ideal $\langle 3 \rangle$ no es un alojamiento ideal, ya que está correctamente contenida en los ideales $\langle 3, 1 \pm \sqrt{229} \rangle$ (me lo permiten el uso de $\pm$ como una anotación de acceso directo).
En cualquier caso, el número 3 tiene una norma de 9. Así que si $N(3x) = \pm 27$,$x \in \mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{229})}$, lo que significaría $N(x) = \pm 3$, que ya conocéis a ser imposible.
Un poco de cálculo debe revelar que $(16 - \sqrt{229})(16 + \sqrt{229}) = 27$. Por lo $\langle 16 \pm \sqrt{229} \rangle$ son los principales ideales, pero, de nuevo, no eres el primer ideales. Justo después de que me escribió, me di cuenta de que su $5 + \gamma$, y su conjugado $6 - \gamma$. No creo que hemos encontrado un nuevo ideal, ya que el $$\left(\frac{15}{2} + \frac{\sqrt{229}}{2} \right) (16 - \sqrt{229}) = \frac{11}{2} + \frac{\sqrt{229}}{2}.$$
Esa primera multiplicand / multiplicando es un número importante: la unidad fundamental de este dominio, con lo que me gusta anotar $\eta$. Desde $(16 - \sqrt{229}) \eta = 5 + \gamma$$(16 + \sqrt{229}) \overline\eta = 6 - \gamma$, esto significa que $\langle 16 - \sqrt{229} \rangle = \langle 5 + \gamma \rangle$$\langle 16 + \sqrt{229} \rangle = \langle 6 - \gamma \rangle$.
Pero espere un minuto... factorización de ideales es única, incluso si la factorización de números no es. Ese es el tipo de punto de ideales.
Por lo tanto, si $\langle 3 \rangle = \mathfrak p \overline{\mathfrak p}$, $\langle 27 \rangle = \mathfrak p^3 (\overline{\mathfrak p})^3$ donde $\mathfrak p = \langle 3, 1 + \sqrt{229} \rangle$, e $\overline{\mathfrak p}$ es su conjugado $\langle 3, 1 - \sqrt{229} \rangle$, o viceversa, si lo prefiere. O tal vez usted prefiere $\langle 3, 1 - 2 \gamma \rangle$ $\langle 3, -1 + 2 \gamma \rangle$ o, mejor aún, $\langle 3, \gamma \rangle$$\langle 3, 1 - \gamma \rangle$, estos son todos equivalentes, usted debería ser capaz de confirmar por ti mismo.
El punto es que ninguno de esos es el principal. Pero, por supuesto,$N(27) = 729$. Así, para obtener un ideal de norma 27, necesitamos mirar $\mathfrak p^3$, $(\overline{\mathfrak p})^3$, $\mathfrak p^2 \overline{\mathfrak p}$ y $\mathfrak p (\overline{\mathfrak p})^2$ (una gran desventaja de la overline notación de aquí es que se puede mirar como signos menos, esa es la única razón por la que he insertado entre paréntesis en esa lista ahora mismo).
Lo que tienes que hacer ahora es multiplicar esas ideas y determinar cuáles pueden ser hervida hasta director ideales. Las respuestas a esta pregunta debe ser útil: Cómo multiplicar y reducir los ideales en cuadrática número de anillo.
Y por último, para comprobar su respuesta, averiguar que las dos son equivalentes a $\langle 16 \pm \sqrt{229} \rangle$.
