¿Qué hay de malo en esta definición "hacia atrás" del límite?

Question

¿Puede alguien por favor dar un ejemplo de por qué la siguiente definición de$\displaystyle{\lim_{x \to a} f(x) =L}$ no es correcta ?:

$\forall$ $\delta >0$$\exists$ $\epsilon>0$ Tal que si$0<|x-a|<\delta$ #%% luego #%

He estado tratando de resolver esto por un tiempo, y creo que me daría una mayor comprensión de por qué la definición límite es lo que es, porque esta definición alternativa parece bastante lógico y similar a la real, sin embargo, que supuestamente no deben 't trabajo.

Answer 1

Estoy un poco confundido cuando le preguntan si es correcto o no. ¿Le hace frente a la bien conocida definición? Que es, como contraposición a la

Decimos que $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\mathscr L$ si para cada a $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que, para todos los $x$ si $0<|x-a|<\delta$$|f(x)-\mathscr L|<\epsilon$.

Si es así, usted puede ver $\epsilon$ $\delta$ son a la inversa.

Sin embargo, supongamos que esta definición no fue dado, y lo que queremos es definir lo que queremos decir por el límite. En primer lugar, es evidente que se quiere entender que estamos preocupados por lo que sucede cerca de $a$, pero no en $a$. La idea de un "límite", cerca de $a$ es entonces el de un valor de $\mathscr L$ una función de $f(x)$ enfoques al $x$ enfoques $a$, Así que la idea que queremos capturar es que una función $f(x)$ tiene un número $\mathscr L$ como límite al $x$ enfoques $a$ si podemos hacer $\mathscr L$ $f(x)$ tan cerca como se desee, tomando $x$ suficientemente cerca de a $a$. Así que cuando decimos que dos números son cerca? Necesitamos formalizar nuestra idea de proximidad de los números.

$\bf A$. Así, podemos asociar a cada una de las $x,y\in \bf R$ el número real $d(x,y)=|x-y|$ y llamar a la distancia de $x$ $y$. Tenga en cuenta que esta distancia tiene algunas propiedades que realmente queremos cualquier noción de la distancia:

$(1)$ La distancia es simétrica. $$d(x,y)=d(y,x)$$

$(2)$ Es siempre positivo, a menos que $x=y$. Es decir, la distancia de dos números es cero si y sólo si tienen el mismo número. $$d(x,y)>0 \text{ and } d(x,y)=0\iff x=y$$

$(3)$ La distancia desde un punto de $x$ a un punto de $y$ va a ser siempre menor o igual a la distancia de $x$ otro $z$ más de la distancia de ese $z$$y$. Sólo estamos diciendo que la distancia más corta desde $x$ $y$es, precisamente, la línea recta que las articulaciones (esto se generaliza a dimensiones superiores). $$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$$

$\bf B$. Ahora, considere la posibilidad de este tonto teorema:

Supongamos $x,y\in \Bbb R$. A continuación, para cada $\epsilon>0$, $d(x,y)<\epsilon$ si y sólo si $x=y$.

Una dirección es fácil: si $x=y$, entonces claramente $d(x,y)=0<\epsilon$ positivos $\epsilon$. Ahora supongamos que, por cualquier $\epsilon>0$,$d(x,y)=0<\epsilon$. Nuestro objetivo es demostrar $x=y$. Se argumenta por la contradicción. Desde la distancia es simétrica, podemos asumir $x<y$. A continuación,$d(x,y)=|x-y|>0$. Por lo $|x-y|$$\epsilon>0$, lo que significaría que $|x-y|<|x-y|$, lo cual es absurdo. Por lo tanto, debe ser que $x=y$.

$\bf C$. Ahora, tenemos una definición formal de la noción de cerca, y podemos decir que dos números son cerca de si $d(x,y)$ es pequeña. En particular, se ha demostrado que si $x=y$, $d(x,y)$ es un menor que cualquier cantidad positiva dado, ya que es cero. Es lógico decir que la fabricación de $\mathscr L$ tan cerca como se desee a $f(x)$ hacer $|f(x)-\mathscr L|<\epsilon$ , no importa cuán pequeño $\epsilon$,$\epsilon<0$.

$\bf D$. Ahora podemos tratar de pensar acerca del grado de cercanía. Dado un número $\delta >0$, se puede regularizar y decir que $x$ $a$ son suficientemente cerca si $d(x,a)<\delta$. Piense en ello como la regla que nos diga si se puede ir en un paseo de montaña rusa o no. Si $d(x,a)\geq \delta$, $x$ es "malo" y los eliminamos.

$\bf E$. Es importante tener en cuenta esto: estamos preocupados sobre el $f(x)$ $\mathscr L$ cerca, y queremos tener éxito en hacer la $x$ cerca de $a$. No es nuestro objetivo hacer de $x$ $a$ cerca, pero nuestros medios. Así que nuestra definición debe capturar este: dada una proximidad deseada de $f$$\mathscr L$, debe haber un momento en el que cualquier $x$ lo suficientemente cerca como para $a$, $f(x)$ estar cerca de $\mathscr L$. No debemos olvidar que $x\neq a$, lo que sólo significa $0<|x-a|$. Por lo tanto, vamos a tratar de escribir algo, teniendo en cuenta lo que hemos discutido en $\bf B,C,D$.

Decimos que $f(x)$ $\mathscr L$ como límite al $x$ enfoques $a$ si por cualquier prescrito grado de cercanía, lo $x$ lo suficientemente cerca de a $a$, pero no igual a $a$, implica que para todos aquellos $x$, $f(x)$ y $\mathscr L$ será dentro de lo que prescribe el grado de cercanía.

La aplicación de $\bf B,C$, podemos escribir

Decimos que $f(x)$ $\mathscr L$ como límite al $x$ enfoques $a$ si por cualquier $\epsilon >0$ $x$ lo suficientemente cerca de a $a$, pero no igual a $a$, implica que para todos aquellos $x$, $|f(x)-\mathscr L|<\epsilon$.

El uso de $\bf D$, podemos escribir

Decimos que $f(x)$ $\mathscr L$ como límite al $x$ enfoques $a$ si por cualquier $\epsilon >0$, hay un $\delta$ tal que para todo $x\neq a$, $|x-a|<\delta$ implica $|f(x)-\mathscr L|<\epsilon$.

Por último, desde el $x\neq a$ es lo mismo que $0<|x-a|$, que puede ser más escueta y escribir.

Decimos que $f(x)$ $\mathscr L$ como límite al $x$ enfoques $a$ si por cualquier $\epsilon >0$, hay un $\delta$ tal que para todo $x$, $0<|x-a|<\delta$ implica $|f(x)-\mathscr L|<\epsilon$.

Usted puede probar, o encontrar evidencias, que si el límite de $f$ existe para algunos $a$, entonces es único. Y esto es importante. Como otros han señalado, esta definición, que da libertad en $d(f(x),\mathscr L)$,por ejemplo, hace que los límites de perder su singularidad.

Ahora, su definición claramente no capta nuestra idea original: Que de alguna manera está diciendo $f$ $\mathscr L$ como límite si por cualquier prescrito grado de cercanía $\delta$, existe algún número positivo $\epsilon$ tales que hacer de la $d(x,a)<\delta$ implicará $d(f(x),\mathscr L)<\epsilon$. Pero esto nos está dando una gran libertad en $d(f(x),\mathscr L)$, lo que más nos preocupa. Por supuesto, podemos hacer $x$ $a$ tan cerca como se quiera, pero la pregunta es, podemos hacer de la $f$ $\mathscr L$ tan cerca como deseamos?

Answer 2

Hay dos problemas con su "hacia atrás" de la definición, que voy a ilustrar con ejemplos:

1. Deje $f(x) = \sin x$ y dejar $a$, $L$ y $\delta$ ser arbitraria de números reales. A continuación, $\epsilon = |L| + 2$ satisface su definición.

2. Deje $f(x) = 1/x$ ( $x \ne 0$ , y deje $f(0) = 0$, para hacer las $f(x)$ definido en todas partes), y deje $a = 1$. Entonces, para cualquier $L$ (incluyendo $L = 1$), su definición de falla para todos los $\delta \ge 1$, ya que para cualquier $\epsilon$ podemos optar $x=1/(L+\epsilon)$ si $L+\epsilon > 1$ $x=1$ lo contrario, por lo que en ambos casos $f(x)-L \ge \epsilon$.

Answer 3

Vamos a considerar un ejemplo contrario. Vamos a usar la definición de demostrar que el límite de$x$, como$x$ tiende hacia 1, 2. Para todos los$\delta > 0$, afirmamos que existe$\varepsilon_{\delta} > 0$ de tal manera que:

Si$|x - 1| < \delta$ #%% luego #%.

Podríamos definir$|x-2| <\varepsilon_{\delta}$. Eso parece satisfacer su definición.

Answer 4

Su condición puede ser traducido en palabras como:

$f$ Está delimitada en cada bola abierta en torno$a$

Esto es bastante diferente de ser continua!

PS No todas las funciones satisface esta condición, pero los que no lo hacen son bastante feroz. (De hecho, en un sentido estricto, casi ninguna función satisface la condición, pero las funciones que surgen en el análisis normalmente.)