¿Cuál es el número de Betti de un grupo?

Question

Estoy estudiando el Teorema Fundamental del grupo Abeliano generado finamente, y dice que el número de factores igual a $ \mathbb Z$ (el libro de texto dice que es el El número de Betti del grupo) es único hasta el isomorfismo.

Entonces, ¿qué es "el número de factores"?

Traté de encontrar a través de Wikipedia, y dice que es el número de generadores. Así que si estoy en lo cierto, el número de Betti de Z_6 es 2 (ya que 1 y 5 son los generadores). Entonces, ¿cuál es el número de Betti de Z_360? ¿Debería probar todos los casos que son relativamente primos a 360? ¿Hay alguna manera de hacerlo más fácil? Realmente quiero entender completamente la definición y las aplicaciones. Gracias por su ayuda :)

Answer 1

Cada grupo abeliano finamente generado $G$ es isomorfo a $$\mathbb{Z}^n\oplus\bigoplus_{m\geq2}\mathbb{Z}_m^{k_m}$$ (donde todos pero finamente muchos de los $k_m$ son $0$ ) por el teorema fundamental - que dice algo mucho más preciso, pero esto es todo lo que necesitaremos. El número de Betti es entonces $n$ el número de sumandos (o factores) que son isomórficos a $\mathbb{Z}$ . A veces el $\mathbb{Z}^n$ se llama la parte libre (y la otra suma la parte de torsión), así que estás buscando el número de generadores de la parte libre.

Otra forma más técnica de decir esto es que es la dimensión sobre $\mathbb{Q}$ de $G\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ porque $\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}\cong\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}_m\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}\cong\{0\}$ esto concuerda con el cálculo anterior.