La pregunta está en el título. En ZFC, uno puede demostrar que $\aleph_{\alpha+1}$ es regular, por lo que hay una gran fuente de cardenales, con innumerables cofinality, pero en ZF, es coherente que ${\rm cf}(\aleph_1)=\aleph_0$, y la mayoría de los concebible límite de alephs también han cofinality $\aleph_0$. Recuerdo la lectura de un libro que es "desconocido" si hay cualquier ordinales que son demostrablemente de innumerables cofinality en ZF, así que esto es realmente una referencia de la solicitud para el progreso en este problema. Es esta una "seguramente no demostrable" problema? Hay gran cardenal hipótesis (aparte de CA) que arrojan algo de luz sobre el problema?
Respuesta
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No. Como Miha comillas, es constante (en relación a algunos muy muy grandes cardenales) que no inicial ordinal (leer: $\aleph$ número) tiene una infinidad de cofinality. Desde el cofinality de un ordinal es siempre un primer ordinal, esto termina la prueba.
Tenga en cuenta que muy grandes cardenales son necesarios. Si $\operatorname{cf}(\omega_1)=\operatorname{cf}(\omega_2)=\omega$, entonces hay un interior modelo con un Woodin cardenal. Así que para tener todos los cardenales con contables cofinality usted tiene que esperar alguna clase de muy grandes cardenales.
Gitik demostró esto a partir de una clase adecuada de bien compacta cardenales, lo cual es una gran asunción. (Tenga en cuenta, sin embargo, que "la clase adecuada de ..." es bastante aterrador, pero sigue siendo más débil de algo como "inaccesible cardenal que es un límite de ...")
