Estoy tratando de encontrar el momento dependiente de la solución a la ecuación del calor en un largo cilindro (el problema es que sólo depende del radio, r, y el tiempo, t) con el valor inicial $T(r,0)=T_1$ y las condiciones de Dirichlet $T(R,t)=T_2$ $T(0,t)=T_0$ donde $R$ es el radio del cilindro. El PDE es
$$\partial_tT-a\nabla^2T=0 \, .$$
Empecé a usar el de separación de variables método y correctamente tienes la solución general
$$T(r,t)=\sum_{n=1}^\infty A_n J_0(k_nr)e^{-ak_n^2t}$$
donde $J_0(k_nr)$ es una función de Bessel.
No entiendo cómo decidir el coeficiente de $A_n$. Mi libro de texto dice que yo debería utilizar el valor inicial, que en este caso sería de eliminar el término exponencial, dejando
$$T(r,0)=T_1-T_2=\sum_{n=1}^\infty A_nJ_0(k_nr) \, .$$
Ahora mi libro dice que debo multiplicar con la función dentro de la suma y de cambio $n$ $m$ y, a continuación, integrar, que me daría
$$\int_0^R J_0(k_mr)(T_1-T_2)dr=\sum A_n\int_0^R J_0(k_nr)J_0(k_mr)dr \, .$$
Sin embargo, la respuesta correcta a este problema dice que se debe multiplicar por $J_0(k_mr)r$ en lugar de $J_0(k_mr)$ y luego se pone a $m=n$.
Mis preguntas son por lo tanto:
- ¿De dónde viene el extra $r$?
- ¿Por qué asumes $m=n$?
Tengo la sensación de no entender la teoría detrás de la búsqueda de estos coeficientes en la serie así que espero que alguien pueda explicar los conceptos básicos.
