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El Afín Tangente De Cono

Estoy fallando para ver cómo es exactamente el cono tangente en un punto singular en una curva de recoger todas las diferentes tangente a las líneas a través de este punto singular (dicen que la procedencia en $\mathbb{A}^2$)?

Podría alguien explicar esto, o al menos redirigir a mí a una fuente que se podía leer acerca de? He tratado de buscar en línea, pero en la mayoría de los lugares en los que se acaba de tomar esto como un hecho conocido!

Gracias!

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Eineki Puntos 8632

Inicial de observación. Supongamos que alguien le da una función continua de dos variables, y le pide a usted para calcular la serie de Taylor en $(0,0)$. Si hemos de notar que la primera derivados de desaparecer en el origen, a la que llamaremos un punto crítico. La idea de la tangente de cono es que estamos haciendo exactamente esto: tomar la serie de Taylor de la más simple función continua: un polinomio. Y si la primera derivados de desaparecer, llamamos a $(0,0)$ un punto singular.


Tenemos una curva de $X=V(f)\subset \mathbb A^2$ que pasa por el origen. Incluso si el origen es un nonsingular punto de la curva, se tiene un cono tangente en el origen: es también llamada la línea tangente! (y este es, precisamente, codificada en el correspondiente primeros términos de la "serie de Taylor" de $f$).

Sin embargo, la tangente de cono se construye a partir de la principal forma de $f\in k[x,y]$, que es la forma homogénea $\tilde f$ de menor grado que aparecen en la descomposición de la $f$; es nuevo en dos variables. Por ejemplo, la principal forma de $f=2x+y-8y^2x$$\tilde f=2x+y$, el término de menor grado. La tangente de cono es el ajuste a cero de la $V(\tilde f)$. Por lo que el origen es nonsingular si y sólo si $f$ ha líder formulario de grado uno. En ese caso, $V(\tilde f)$ es exactamente la línea tangente.

En general, la principal forma será un producto de factores lineales, cada uno que aparece con algún exponente. Por lo que el esquema de $V(\tilde f)$ es una unión de líneas, donde algunos de ellos son, posiblemente, nonreduced.

Si $f$ comienza, digamos, con grado de $2$,, por ejemplo, $(0,0)$ será un nodo en caso de que el (grado $2$) liderando la forma es un producto de dos distintas lineal de las formas, es decir, algo del tipo $$(ax+by)\cdot (cx+dy).$$ If, instead, the leading form has the shape $(ax+by)^2$, something else happens (example: the cusp $f=y^2-x^3$, cuya tangente cono que es una línea doble).


De referencia. Todo esto es maravillosamente explicado en Mumford es El libro rojo de las variedades y de los esquemas.

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Scott C Puntos 286

Para cualquier persona interesada voy a escribir una referencia para la "respuesta" a esta pregunta: resulta que este es un problema en Hartshorne, a saber, el Problema 5.14 (b) del Capítulo 1. Voy a escribir la declaración de aquí, y tal vez en algún punto de publicar una solución así.

Si $f=f_r+f_{r+1}+\cdots \in k[[ x, y]]$, y si la principal forma de $f_r$ factores $f_r=g_sh_t$ donde $g_s,h_t$ son homogéneas de grados $s$$t$, respectivamente, y no tienen en común lineal de los factores, entonces hay poder formal de la serie $$g=g_s+g_{s+1}+\cdots$$ $$h=h_t+h_{t+1}+\cdots$$ in $k[[x,y]]$ such that $f=gh.$

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