Inicial de observación. Supongamos que alguien le da una función continua de dos variables, y le pide a usted para calcular la serie de Taylor en $(0,0)$. Si hemos de notar que la primera derivados de desaparecer en el origen, a la que llamaremos un punto crítico.
La idea de la tangente de cono es que estamos haciendo exactamente esto: tomar la serie de Taylor de la más simple función continua: un polinomio. Y si la primera derivados de desaparecer, llamamos a $(0,0)$ un punto singular.
Tenemos una curva de $X=V(f)\subset \mathbb A^2$ que pasa por el origen.
Incluso si el origen es un nonsingular punto de la curva, se tiene un cono tangente en el origen: es también llamada la línea tangente! (y este es, precisamente, codificada en el correspondiente primeros términos de la "serie de Taylor" de $f$).
Sin embargo, la tangente de cono se construye a partir de la principal forma de $f\in k[x,y]$, que es la forma homogénea $\tilde f$ de menor grado que aparecen en la descomposición de la $f$; es nuevo en dos variables. Por ejemplo, la principal forma de $f=2x+y-8y^2x$$\tilde f=2x+y$, el término de menor grado. La tangente de cono es el ajuste a cero de la $V(\tilde f)$. Por lo que el origen es nonsingular si y sólo si $f$ ha líder formulario de grado uno. En ese caso, $V(\tilde f)$ es exactamente la línea tangente.
En general, la principal forma será un producto de factores lineales, cada uno que aparece con algún exponente. Por lo que el esquema de $V(\tilde f)$ es una unión de líneas, donde algunos de ellos son, posiblemente, nonreduced.
Si $f$ comienza, digamos, con grado de $2$,, por ejemplo, $(0,0)$ será un nodo en caso de que el (grado $2$) liderando la forma es un producto de dos distintas lineal de las formas, es decir, algo del tipo $$(ax+by)\cdot (cx+dy).$$ If, instead, the leading form has the shape $(ax+by)^2$, something else happens (example: the cusp $f=y^2-x^3$, cuya tangente cono que es una línea doble).
De referencia. Todo esto es maravillosamente explicado en Mumford es El libro rojo de las variedades y de los esquemas.