El problema del álgebra lineal de las Olimpiadas

Question

Este es un problema de una olimpíada que tomé hoy. Lo intenté pero no pude resolverlo.

Deje que $A$ y $B$ matrices rectangulares con entradas reales, de dimensiones $k \times n$ y $m \times n$ respectivamente. Demuestra que si por cada $n \times l$ matriz $X$ ( $l \in \mathbb {Z}^+$ ) la igualdad $AX=0$ implica $BX=0$ entonces existe una matriz $C$ de tal manera que $B=CA$ .

Intenté definir un diagrama conmutativo, pero fallé. De todas formas, preferiría una solución que trabaje con las matrices explícitamente. Pero agradeceré y apreciaré cualquier solución.

Answer 1

$AX=0$ significa que las filas de $A$ son todas ortogonales a las columnas de $X$ y también para $BX=0$ . $B=CA$ significa que las filas de $B$ son combinaciones lineales de las filas de $A$ .

Supongamos que hay una fila de $B$ que no es una combinación lineal de las filas de $A$ . Ortogonaliza esa fila a las filas de $A$ y elegir $X$ como el vector de la columna correspondiente a esta fila ortogonalizada. Luego $AX=0$ pero $BX \neq0 $ . De ahí las filas de $B$ son combinaciones lineales de las filas de $A$ .

Answer 2

Piensa en $A$ como una transformación lineal de $ \mathbb {R}^n$ a $ \mathbb {R}^k$ y $B$ como una transformación lineal de $ \mathbb {R}^n$ a $ \mathbb {R}^m$ . Blanco $L_M$ para la transformación lineal definida por la multiplicación por la matriz $M$ .

Para la matriz $C$ para existir, debes tener una transformación lineal $L$ de $ \mathbb {R}^k$ a $ \mathbb {R}^m$ de tal manera que $L \circ L_A = L_B$ . Entonces puedes definir $C$ para ser la representación de la matriz estándar de $L$ .

Una condición necesaria para que esto sea posible es que $ \mathbf {N}(L_A) \subseteq \mathbf {N}(L_B)$ (si hay $ \mathbf {v} \in\mathbf {N}(L_A)$ que no está en $ \mathbf {N}(L_B)$ Entonces $L \circ L_A( \mathbf {v})= \mathbf {0} \neq L_B( \mathbf {v})$ y estás hundido).

De hecho, esto es suficiente encontrar una base $ \mathbf {v}_1, \ldots , \mathbf {v}_s$ para el espacio nulo de $A$ y luego extenderlo a una base para $ \mathbb {R}^n$ , $ \mathbf {v}_{s+1}, \dots , \mathbf {v}_n$ . Note que la imagen de $ \mathbf {v}_{s+1}, \ldots , \mathbf {v}_n$ en $ \mathbb {R}^k$ bajo $L_A$ es linealmente independiente (este es esencialmente el Teorema de Rango-Nulidad), así que puedes completar $A \mathbf {v}_{s+1}, \ldots ,A \mathbf {v}_n$ a una base $ \mathbf {w}_1, \ldots , \mathbf {w}_{(k-n+s)}$ de $ \mathbb {R}^k$ . Defina $L \colon\mathbb {R}^k \to\mathbb {R}^n$ dejando que $L(A \mathbf {v}_j) = B \mathbf {v}_j$ para $j=s+1, \ldots ,n$ y arbitrariamente para $ \mathbf {w}_i$ . Entonces deja $C$ sea la matriz estándar para esta transformación lineal.