Método de fase estacionaria para $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(ix(t^3-t))dt$

Question

Estoy luchando con el integral $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(ix(t^3-t))dt$ $f(t)$ Dónde está lisa y $f\rightarrow 0$ $t\rightarrow +-\infty$ currenty. Quiero obtener el líder beahviour asintótica como $x\rightarrow \infty$

No tendría un problema si los límites de la integral son finitos, como dijo aquí http://www.math.unl.edu/~scohn1/8423/intasym4.pdf (fórmula (2))

$g(t)=t^3-t$ y $g'(t)=0$ $+-\sqrt{\frac{1}{3}}$

¿Qué puedo hacer para utilizar la fórmula indicada en el enlace de arriba?

Answer 1

Si dividimos el intervalo de integración en cuatro partes,

$$ \int_{-\infty}^{\infty} = \int_{-\infty}^{-1} + \int_{-1}^0 + \int_0^1 + \int_1^\infty, $$

el interior de las dos integrales son del tipo considerado en el PDF que enlaza, por lo que solo queda demostrar que la primera y la última de las integrales son asintóticamente más pequeños que ellos como $x \to \infty$ (y, por tanto, que no contribuyen a la principal de orden asintótico).

Voy a considerar la última integral,

$$ I(x) = \int_1^\infty f(t) \exp\left[ix(t^3-t)\right]\,dt, $$

dado que el proceso para la primera, $\int_{-\infty}^{-1}$, deben ser similares.

La sustitución de $s = t^3-t$ define un creciente, cóncava bijection $t(s) : [0,\infty) \to [1,\infty)$. Para un gran $s$ hemos

$$ t \sim s^{1/3} $$

y para los pequeños $s$ hemos

$$ t = 1 + \frac{s}{2} + O(s^2). $$

Vamos entonces a escribir

$$ f(t)\,dt = f(t(s))t'(s)\,ds, $$

así que

$$ I(x) = \int_0^\infty f(t(s))t'(s)e^{ixs}\,ds. $$

Tenga en cuenta que, desde el $t \sim s^{1/3}$ grandes $s$, tenemos

$$ t'(s) \sim \frac{1}{3}^{-2/3} $$

para un gran $s$. La integración por partes, lo que los rendimientos de

$$ \begin{align} I(x) &= \frac{1}{ix}\left[f(t(s))t'(s)e^{ixs}\right]_0^\infty - \frac{1}{ix} \int_0^\infty \frac{d}{ds} \Bigl[f(t(s))t'(s)\Bigr]e^{ixs}\,ds \\ &= -\frac{f(1)}{2ix} - \frac{1}{ix} \int_0^\infty \frac{d}{ds} \Bigl[f(t(s))t'(s)\Bigr]e^{ixs}\,ds, \tag{1} \end{align} $$

desde $t(0) = 1$$t'(0) = \frac{1}{2}$. Ahora

$$ \frac{d}{ds} \Bigl[f(t(s))t'(s)\Bigr] = f'(t(s))t'(s)^2 + f(t(s))t"(s), $$

y para un gran $s$ hemos

$$ f'(t(s))t'(s)^2 \sim f'(t(s)) \left( \frac{1}{3}^{-2/3} \right)^2 \etiqueta{2} $$

y

$$ f(t(s))t"(s) \sim f(t(s)) \left( -\frac{2}{9} s^{-5/3} \right). \etiqueta{3} $$

Desde $f(t(s)) \to 0$ $s \to \infty$ la expresión en $(3)$ es integrable, y si la expresión en $(2)$ es integrable así (por ejemplo, si $f'(r)$ es limitada), entonces la integral en $(1)$ existe y está acotada. Así

$$ I(x) = O\left(\frac{1}{x}\right). $$

Esto es menor que las estimaciones que se desea obtener para las integrales sobre finito de intervalos, que sería algo del orden de $1/\sqrt{x}$. Así, se puede tirar de las colas de la integral si todos los que estamos interesados es en el líder de la orden de aproximación.